导数与微积分导函数导函数的概念涉及：的对于区间( , )上任意点处都可导，则在各点的导数也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为的导函数，记作。
一、基本函数的导函数C'=0(C 为常数)(x A n)'=nx A(n-1) (n € Q)(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(eAx)'=eAx(aAx)'=(aAx)*lna[log(a,x)]' = 1/(x*lna)[lnx]'= 1/x二、和差积商函数的导函数[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)A2]三、复合函数的导函数设y=u(t) ，t=v(x) ，则y'(x) = u'(t)v'(x) = u'[v(x)] v'(x)例：y = tA2 ，t = sinx ，则y'(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量△(点仍在该邻域内)时，相应地函数取得增量△；如果△与△之比当△时的极限存在，贝y称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即也可记作，或。
邻域数学分析的定义以a 为中心的任何开区间称为点a 的邻域，记作U(a)设3是任一正数，则在幵区间(a- 3, a+3 )就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a 的3邻域，记作U(a, 3 )，即U(a, 3 )={x|a- 3 <x<a+ 3 }。
点a称为这邻域的中心，3称为这邻域的半径。
a的3邻域去掉中心a后，称为点a的去心3邻域，有时把幵区间(a- 3，a)称为a 的左3邻域，把幵区间(a，a+ 3)称为a的右3邻域。
拓扑学的定义设A是拓扑空间(X, T )的一个子集，点x € A。
如果存在集合U,满足①U是幵集，即U €T，②点x € U,③U是A的子集，则称点x是A的一个内点，并称A是点x的一个邻域。
若A是幵(闭)集，贝V称为幵(闭)邻域。
可导设y=f(x) 是一个单变量函数，如果y 在x=x[0] 处存在导数y'=f'(x), 则称y 在x=x[0] 处可导。
如果一个函数在x[0] 处可导，那么它一定在x[0] 处是连续函数若将一点扩展成函数f(x) 在其定义域包含的某开区间I 内每一个点，那么函数f(x) 在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着f(x) 的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数f(x) 的导函数，记作：y' 、或者。
原函数已知函数f(x) 是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x) ，使得在该区间内的任一点都有dF(x)二f(x)dx ,则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。
例：sinx是cosx的原函数。
关于原函数的问题函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。
若其存在原函数，那么原函数一共有多少个呢？我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数，即: F'(x)=f(x)，则函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数，故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个.如果定义在(a,b )上的函数F (x )和f (x)满足条件：对每一x €( a,b )，F'( x) =f (x) 则称F (x)为f (x)的一个原函数。
例如，x3是3x2的一个原函数，易知，x3 + 1和x3 + 2也都是3x2的原函数。
因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的，例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t 的速度为v = v(t),要求它的运动规律，就是求v = v(t)的原函数。
原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。
几何意义和力学意义设f(x)在［a,b］上连续，则由曲线y=f(x),x 轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数(指代数和一一x轴上方取正号，下方取负号)是f(x)的一个原函数.若x为时间变量,f(x) 为直线运动的物体的速度函数，则f(x)的原函数就是路程函数.导函数的定义表达式为：值得注意的是，导数是一个数，是指函数f(x)在点x0处导函数的函数值。
但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点几何意义如右图所示，设P0为曲线上的一个定点，P为曲线上的一个动点。
当P沿曲线逐渐趋向于点P0时，并且割线PPO的极限位置POT存在，则称POT为曲线在P0处的切线。
若曲线为一函数y二f(x)的图像，那么割线PPO的斜率为：当P0处的切线POT，即PPO的极限位置存在时，此时，，则POT的斜率tan a为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则f'(xO) = tan a，故导数的几何意义即曲线y = f(x) 在点PO(xO,f(xO)) 处切线的斜率。
函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数，即函数在上都有定义，那么该函数是不是在定义域上处处可导呢？答案是否定的。
函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。
这实际上是按照极限存在的一个充要条件(极限存在，它的左右极限存在且相等)推导而来：上式中，后两个式子可以定义为函数在xO 处的左右导数：极值[extremum]:数学函数的一种稳定值，即一个极大值或一个极小值，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。
[extreme value] :在给定的时期内, 或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值。
如果这个时期是整个有观测资料的时期, 这个极值就是绝对极值极限在高等数学中，极限是一个重要的概念。
极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。
首先介绍刘徽的"割圆术", 设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。
为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍，当n无限增大时,An 无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2 的9 次方边形，利用不等式An+1<A<An+2［（An+1）-An］（n=1 ，2，3 ）得到圆周率=3927/1250 约等于3.1416 数列极限：定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数£ （不论它多么小），总存在正整数N,使得当n>N时，不等式|Xn - a|< £都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。
记为lim Xn = a或Xn^a （n数列极限的性质：1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；2. 有界性：如果一个数列收敛（有极限），那么这个数列有界。
但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。
3. 保号性：如果一个数列｛xn｝收敛于a，且a>0 （或a<0），那么存在正整数N,当n>N时，都有xn>0（或xn<0）。
4. 改变数列的有限项，不改变数列的极限。
几个常用数列的极限：an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an二x A n绝对值x小于1极限为0函数极限的专业定义:设函数f（x）在点X。
的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数£ （无论它多么小），总存在正数3 ，使得当x满足不等式0<|x-x o |< 3时，对应的函数值f（x）都满足不等式：|f(x)-A|<那么常数A就叫做函数f(x)当x-x。
时的极限。
函数极限的通俗定义：1、设函数y=f(x)在(a,+ g)内有定义，如果当x—+x时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+g时函数f(x)的极限。
记作lim f(x) = A , x—+g。
2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时(记作x—a),函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。
记作lim f(x)=A , x—a。
函数的左右极限：1:如果当x从点x=x0的左侧(即x〈x0)无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a, 就说a 是函数f(x) 在点x0 处的左极限,记作x—x0-limf(x)=a.2: 如果当x 从点x=x0 右侧(即x>x0) 无限趋近于点x0 时,函数f(x) 无限趋近于常数a, 就说 a 是函数f(x) 在点x0 处的右极限,记作x—x0+limf(x)=a.注:若一个函数在x( 0)上的左右极限不同则此函数在x( 0)上不存在极限注:一个函数是否在x(0) 处存在极限,与它在x=x(0) 处是否有定义无关, 只要求y=f(x) 在x(0) 近旁有定义即可。
函数极限的性质:极限的运算法则(或称有关公式) :lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x) lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x) lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x) 不等于0 )lim(f(x))A n=(limf(x))5以上limf(x) limg(x) 都存在时才成立lim(1+1/x)Ax =e无穷大与无穷小：一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。
无穷大数列和无穷小数列成倒数。
两个重要极限：1、lim sin（x）/x = 1 , x I02、lim （1 + 1 /x）A x = e , x—x （e~ 2.7182818…，无理数）举两个例子说明一下一、0.999999 (1)（以下一段不作证明，只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位，即要知道具体哪一位加哪一位才可操作，下文中0.33333 ……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准，所以对于无限小数并不能做加法。
既然不可做加法，就无乘法可言了。