1 1 1 2 1 3) k = × 2.5 + × − + × ( −1) = − ( 3 2 2 3 12 i= 72 = 5.92% 1 13 13 − ×1000 + ×1272 − × 72 12 12 12
• 3.2 债务偿还
• 3.2.1 分期偿还 分期偿还：借款者按一定的周期用分期付款的方式偿还贷款的过程。分 期偿还计划的每期还款形成了年金，因此，用年金理论可以解决有关分期偿 还计划。 假设贷款额为 L ，分期还款次数为 n ，每期还款额为 P，贷款利率为 i 分期偿还计划的现金流如图
债券价格等于各期票息现值加上赎回值的现值，其中每期票息缴纳所得税 为 t1 Nr ，投资者实际得到的利息为 N r (1 − t1 ) ，则债券价格为
P = Nr (1 − t1 ) a n
i
+ Cv n = Nr (1 − t1 ) a n
i
+K
例题 面值1000元的10年期债券，票息率为每年计息两次的名义利率8.4%， 赎回值为1050元，息票所得税率为20%，若按每年计息两次的名义利率10% 购买，求该债券的价格。 解：由于每年计息两次，票息支付次数应为20次，半年实际票息率则为4.2% 半年实际收益率为5%，则有 P = Nr (1 − t1 ) an i + Cv n
B = A+C + I 假设投资期内基金所获得的收入是在期末支付，并1− t it = (1 − t ) i则有
I = iA + ∑ Ct ⋅ 1−t it = iA + ∑ Ct ⋅ (1 − t ) i = i A + ∑ Ct (1 − t ) t t t
故有
i=
I A + ∑ Ct (1 − t )
73500 = 74100 (1 + i ) i = 0.816%
−1
+∞
( x ≥ 0)
E( X ) = ∫
0
xf ( x)dx
2
Var ( X ) = E ( X ) − [ E ( X ) ]
X
2
现实中投资所获得的收益不一定能按本金与原投资的收益率再次投 资，这就涉及再投资收益率的问题。 例题 某张债券有如下规定： （1）投资者在5年内每年末收到10000元的付款。 （2）这些付款可得到年实际利率为4%的利息，利息可以以3%的利率进行 再投资。 求该投资这要达到4%的投资收益率的目标，该债券的购买价格是多少？ 解： 10000 10000 10000 10000 10000 400 该投资者收回投资的终值为 800 1200 1600
P
P
P
P
P
0
1
2
k
k +1
n
第 k 次还款后的贷款余额记为 B ，显然第 k次还款后，还有 n − k 次还款，于 k 是这 n − k 次付款在 k 时的现值为Bk ，即
Bk = P ⋅ an − k
这是用未来法计算得来的贷款余额，记为 Bkp，还有过去法，即用贷款额 L积 累到 k 时的终止减去已还款额积累到k 时的终值，即 k r B k = L (1 + i ) − Ps k 记为 Bk
B5.5 = B ⋅ (1 + 0.08 ) = 89654.39
P 5
1 2
• 3.2.2 偿债基金 偿债基金是另一种偿还债务的方式。借款人在每还款期将贷款在该期内 产生的利息支付给贷款人，同时专门建立一个基金存入一笔款，这些款项积 累至贷款期末正好等于贷款本金，这个基金就是偿债基金。 这中还款方式的贷款本金在任一时刻保持不变，故在任一时刻的贷款余 额为贷款本金减去偿债基金积累到该时刻的金额。 若贷款额为1，年利率为 i，贷款期限为n，按偿债基金法偿还贷款，则 每期支付利息为i，假设每期存入偿债基金的数额为 D，偿债基金存款利率也 为 i ，则有
= 5000 − 1443.196 = 3556.804 NPk = D (1 + j )
k −1
=
100000 12 1 + 4% ) = 384439 ( s25 4%
• 3.3 债券与其他证券
• 3.3.1 债券 债券是一种表明债权债务关系的有价证券。持券人有权按照约定的条件 向发行人取得利息和到期收回本金。债券上载有发行单位、面值、利率、偿 还期等内容。 计算债券价格所用的符号： P − 债券价格 N −债券面值，印在债券上，是确定发行人的一系列的偿付额。 C − 债券赎回值，即债券到期时发行人支付给持券人的货币额。 r −债券的票息率，用于每个票息支付周期计算票息额的比率。 Nr − 票息额，投资者按期收到的债券利息额即 N 与 r的乘积。 g −债券的修正票息率，是单位赎回值中的票息额， = N r C g i − 债券的收益率，投资者持有债券直至赎回或到期后实际获得的利率 n − 票息支付的周期数 K − 到期日或赎回日的赎回值以收益率i计算的现值，K = C v n t1 − 所得税率
1 + (i − j ) a n
j
记 an i& (i − j ) an j
L
an j
则 an i& j =
1 + (i − j ) an j
an j
1 = +i sn j
a n i& j
第 k 次利息支付及向基金存款后的贷款净余额记为 NBk，则 N Bk = L − D sk j 第k 期内支出的贷款利息与偿债基金所得利息之差为第 期内的净利息支出，记 为 N I k ，则有 N I k = Li − j ⋅ D ⋅ s k −1 j 第k 期末偿债基金与第 k 期初偿债基金之差为第 k 期内的净本金支出，记为 N Pk 则有
第三章 利息理论的应用
• 第一节 计量投资收益
3.1.1 投资收益率与再投资收益率 3.1.2 收益率的应用
• 第二节 债务偿还
3.2.1 分期偿还 3.2.2 偿债基金
• 第三节 债券与其他证券
3.3.1 债券 3.3.2 优先股和普通股
• 3.1 计量投资收益
• 3.1.1 收益率与再投资收益率 收益率就是一种利率，这个利率作用在一项经济业务所有流出流入的现 金流上，使投资支出现值等于投资回收现值。在金融保险实务中，收益率也 成为内部收益率，只用来表示一个封闭的现金流的投资回报。 例题 某投资者在期初投购买股票1万股，每股为7.35元，到期末将这1万股 股票以每股7.41元的价格售出，求投资者在这段时间的投资收益率。 解：期初现金流出： 7.35 ×10000 = 73500 期末现金流入： 7.41×10000 = 74100 设在这段时间的投资收益率为 i，则有
i 1.035 − 1.03 4 = 50000 + 400 − = 54121.81 2 0.03 0.03 设要达到4%的实际收益率，投资者购买该债券的价格为P ，则
5 ×10000 + 400 ( Is )4 3% = 50000 + 400 ×
&&4 − 4 s
P = 54121.81× (1 + 4% ) =44484.18
B k + t = B k (1 + i ) 0 < t <1 例题 1.若借款人每年末还款1000元，共20次，在第五次还款时，他决定将手 头多余的2000元也作为偿还款，然后将剩余贷款期调整为12年，若利率为 9%，计算调整后每年的还款额。 解：因为不知道贷款额L，所以用未来法计算比较方便 Bkp = 1000a15 = 8060.69
i=
2.年初，某基金有资金1000元，在4月末新投入资金500元，在6月末赎回资金 100元，8月末赎回资金200元。到年底，基金余额为1272元。利用上述三个 公式分别计算基金收益率。 解： I = 1272 − (1000 + 500 − 200 − 100 ) = 72 72 72 2× 72 = = 5.92% 1) i = ( = 6.55% ( 2) i = 2 1 1 1216.7 1000 +1272 − 72 1000+ ×500− ×100− ×200 3 2 3
N Pk = D ⋅ s k j − D ⋅ s k −1 j = D + D ⋅ s k −1 j (1 + j ) − D ⋅ s k −1 j
k −1 k −1 = D 1 + j ⋅ s k −1 j = D 1 + (1 + j ) − 1 = D (1 + j )
(
)
例题 某借款人贷款100000元，为期25年，年利率5%，采用偿债基金还款方 式，偿债基金存款利率为4%，计算第13次付款中的净利息支出与净本金支出。 解： NI = Li − j ⋅ D ⋅ s = 100000 × 5% − 4% × 100000 × s × 4% 13 12 j 12 4% s25 4%
L = D ⋅ sn j
则有
D=
L 1 1 = Li + P = Li + D = Li + = Li + − j sn j sn j an j 1 = L + ( i − j ) = an j L an j
L sn j
计算公司的收益率 解：年内各现金流没有发生时间，假设都发生在年中，则有：
A = 100000 B = 100000 + 10000 + 5300 − 4200 − 200 − 1800 = 109100 I = 5300 − 200 = 5100 2 × 5100 = 5% 100000 + 109100 − 5100
D ⋅ sn = 1