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3.1.2 收益率:是否唯一
例3-5 一家存贷合作社宣布同时提供存贷业务，存贷款利率由 双方面议，对同一个客户，存、贷利率相等，合作社还公布其 所成交的每一笔业务的收益率。现有某人在一年后需用有2万 元资金，于是想到这家存贷合作社贷款。该人现有1万元，并 计划在2年后将所需还款一次还清。在向合作社说明了来意和 还款计划后，合作社惊奇地发现，除非存贷利率为0，否则无 论如何都无法公布该笔业务的收益率，为什么？
n (1+ isn j ) vk =1
(3-4) (3-5)
k= n 1 isn j 1 容易验证，k 介于 j 和 i 之间。
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3.1.3 再投资收益率
考虑标准年金中，各次付款产生的利息的再投资利率为 j.
本金偿还： 利息流： 时间： 投资支出： 0 1 1 2 1 i 2i 3 1 … … … (n-4)i n-3 1 (n-3)i n-2 1 (n-2)i n-1 1 n (n-1)i n 1
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3.1.2 收益率:是否唯一
对照着收益率的定义，容易发现可能存在如下的问题： 收益率可能不存在！ 对于同一个投资项目，可能同时存在多个收益率，即收益 率可能不唯一！ 例3-4 某两人达成如下的一项协议：甲先借9950元给乙，两年 后再给乙15000元；作为回报，一年后乙支付24500元给甲。求 该项协议中，甲（从而也是乙）的收益率。
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3.2
收益率的运用
3-2-1 币值加权收益率
假设
投资者在期初投资 A 元购买基金，或期初投资者基金帐户 的余额为A；
在期末投资者基金帐户的余额为B，或投资者在期末可收 回的投资回报为B； 用I表示这一期内总的投资(基金投资)自增利息量； 用Ct表示t时追加的净投资金额，0<t<1；Ct可以为负值， 负的Ct表示在t时有净的资金撤出； 用C 表示在此期间追加的净投资资金的总和，即C=ΣCt； 用i记年度收益率。
第三章
收益率
3.1 收益率 3.2 收益率的运用
3-1-1 现金流分析
现金流出：O0 O1 O2 … On-1 On
现金流入 时间
I0 0
I1 1
I2 2
…
I n-1 n-1
In n
…
图(3-1) 投资记录时间图
令Ct Ot I t , 表示时刻t的投资支出，则Ct 表示t时刻的净现金流出。 如果从投资人投资回收的角度： 令Rt I t Ot , 则Rt 表示时刻t的净现金流入。
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3.1.2 收益率的定义：几个知识点
例3-3 利用计算机计算表3-1中的现金流收益率。
年份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总计 投入 收回 净现金流Rt vt Rt*vt 10000 -10000 1.0000 -10000.0000 5000 -5000 0.8853 -4426.3932 1000 -1000 0.7837 -783.7183 1000 -1000 0.6938 -693.8091 1000 -1000 0.6142 -614.2143 1000 -1000 0.5438 -543.7508 1000 8000 7000 0.4814 3369.5971 1000 9000 8000 0.4261 3409.1799 1000 10000 9000 0.3773 3395.3334 1000 11000 10000 0.3340 3339.7957 12000 12000 0.2957 3547.9798 23000 50000 27000 0.0001 i= 0.1296
T=0时：
T=1时： 则i=?
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3.1.2 收益率唯一存在的充分条件
若在整个投资期间，如果净现金流的方向只改变一次，那 么该项目的收益率唯一存在。具体地说，对于一项[0,n]上 的项目，如果存在一个时刻 t* ，使在 t* 之后的净现金流方 向是一致的， t* 之前的净现金流向也是一致的，且这两个 现金流方向相反，则收益率必然是唯一存在的。用符号表 示就是：存在 0<t*<n ，使当 0<t<t* 时， Rt<0 ，而当 t*<t<n 时，Rt>0。 若在整个投资期间，在投资项目结束前，投资项目的余额 总为正，则如果存在收益率，那么收益率一定是唯一的。
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3-2-1 基金收益率
例3-11 某财险公司去年业务现金流如下，假设年初承保， 年末业务全部到期，没有未决赔款（单位：万元）。
年初资产：10000 保费收入：1000 投资毛收入：530 赔款支出：420
投资费用：20
其他支出：180
根据以上信息计算公司的收益率。
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3-2-2 时间加权收益率
每 股 1.5 基 金 价 1 格 0.5
0
0 0.5 1
图(3-4) 基金的价格走势图
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时间加权方法计算收益率同样是基于投资者的投资记录，其做法可以被描述为： 首先，根据投资者的现金流动情况，将整个投资期划分为若干个小期，以每个有现 金流动的时刻为划分点，然后根据投资记录，确定每个小期上的投资收益率，因为 相对于每个小期来讲，期间没有任何的存取，所以适用一次借贷的模型，因此各小 期上的小期积累因子即为相应期末的余额除以期初用于本小期积累的余额，所有这 些小期的积累因子的乘积减掉1即为时间加权收益率。
2 4 4X =1 1 X 2
显然，如果 X<1，则有两个收益率存在，如果 X>1， 则不存在收益率，因此，只有当 X=1 时，有一个收益率， 而该收益率正好又为 0。
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3.1.2 收益率:是否唯一
例3-6 某甲向乙借款1000元，年利率为10%，转手贷给丙， 年利率为15%，期限都为一年。计算甲的收益率。 解： 从甲的现金流看：
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3.1.2 收益率:是否唯一
解：根据题意，甲的净流入现金流为： R0=-9950，R1=24500，R2=-15,000 于是由 å Rt vt =0
t=0v-15000v2=0 即， 9950(1+i) 2-24500(1+i)+15000=0 解得：i=32.17%或 14.06%
图(3-3) 年金投资产生的现金流
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3.1.3 再投资收益率
积累值为 n+ i( Is)n1 j (3-6)
投资者的净回报现金流，R1=R2=…=Rn-1=-1， Rn=n-1+ i( Is)n1 j ，收益率 k 满足：
n [n+ i( Is)n1 j ] vk = an k 或
本金返还： 利息流： 时间 投资支出： 0 1 1 i i 2 3 i … … i i n-2 i n-1
1 i n
图(3-2)单位投资产生的现金流
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3.1.3 再投资收益率
积累值 1+ isn j (3-3)
该投资人的净回报现金流为 R0=-1，Rn=1+ isn j ， 因此，投资收益率 k 满足：
Rt 现金流是从投资方或者贷出方的角度进行分析的；Ct 现金流是从投资项目或者借入方的角度进行分析的。 即从Rt 或者Ct 的角度考虑，计算的收益率是相等的。 对贷出方而言，收益率越高越好。对借入方而言，收益 率越低越好。 实务中，i可以为正、可以为零可以为负。其负值区间 为：[-1，0)。 对于不同的投资项目，只能在相等的投资期间进行收益 率的比较。
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总计
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12000
50000
12000
27000
案例说明
令： V 0 vt Rt
t 0 n
通过现金流折现对现金流进行分析的方法，叫做现金流折现分析。 如果确定了折现利率i, 通过上式，即能计算投资的净现值。 上例中，如果i=0.08,计算表中的现金流现值。
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3.1.3 再投资收益率
通常，我们未考虑投资回报的再投资问题，假定再投资收 益率与原投资收益率相等。现实中并非如此。 如每年付息的债券； 股息分配
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3.1.3 再投资收益率
考虑在0时刻的投资1，投资期限n年，每年获得利息i, 每年付息后利息需要再投资，投资利率为j.
3-1-2 收益率的定义
使得项目的净现值为0的利率i为相应投资项目的收益率。
V 0 v t Rt =0
t 0
n
也称内部收益率。
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收益率：例3.2
例3-2 求利率为何值时，第2年支付2000元、第4年支付 3000元得现值和为4000元。
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3.1.2 收益率的定义：几个知识点
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案例说明
某人第一年初投资10000元，第二年初投资5000元。 以后每一年初投资1000元。总共投资10次。从第七年 后，开始收回投资及回报：第七年初收回8000元，第 八年初收回9000元。。。第11年初收回12000元。
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案例说明
表(3-1) 原始记录表(单位：万元) 年份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 投入 10000 5000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 23000 8000 9000 10000 11000 收回 净现金流Rt -10000 -5000 -1000 -1000 -1000 -1000 7000 8000 9000 10000
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3-2-1 基金收益率
用 1/2 来取代所有的 t i≈I/(A+C/2) =2I/(A+B-I) 用 k 取代 t I I i≈ ≈ A Ct (1 t ) A (1 k ) Ct