整数可以分成奇数和偶数两大类。
能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k （k 为整数）表示，奇数则可以用2k ＋1（k 为整数）表示。
任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a kn p p p p =⨯⨯⨯⨯L ，其中k p p p ，⋯,,21为质数，k a a a ，⋯,,21为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式。
奇数与偶数有如下的运算性质：(1)偶数±偶数＝偶数，奇数±奇数＝偶数；(2)偶数±奇数＝奇数；(3)偶数个奇数相加得偶数；(4)奇数个奇数相加得奇数；(5)偶数×奇数＝偶数， 奇数×奇数＝奇数。
质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数及约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论类题目的突破口，它可以帮助我们分析数字的特征。
例1 有苹果、橘子各一筐，苹果有240个，橘子有313个，把这两筐水果平均分给小朋友，已知苹果分到最后还剩2个，橘子分到最后还剩7个，那么最多有多少个小朋友？分析与解：从240个苹果中去掉2个，即将238个苹果平均分给这些小朋友，没有剩余；从313个橘子中去掉7个，即将306个橘子平均分给这些小朋友，也没有剩余。
那么238和306都是这些小朋友人数的倍数，这些小朋友的人数是238和306的公约数。
求最多有多少个小朋友，实际上就是在求238与306的最大公约数。
(238，306)＝34，所以最多有34个小朋友。
答：最多有34个小朋友。
例2 甲、乙、丙3个自然数之和是100，甲数除以乙数或丙数除以甲数，商都是5，余数都是1。
问：乙数是多少？分析与解：设乙数为x ，则甲数是5x ＋1，丙数是5(5x ＋1)＋1。
根据题意，得x ＋5x ＋1＋5(5x ＋1)＋1＝100x ＋5x ＋1＋25x ＋5＋1＝10031x ＝93x ＝3例3 某数除以3余1、除以4余2、除以5余3，除以6余4，这个数最小是多少？ 分析与解：观察后发现：除数和余数均相差2。
所以将这个数添上2后，它分别能被3、4、5、6整除。
要求这个数最小是多少，就要先求出3、4、5、6的最小公倍数，再减去2即可。
[3，4，5，6]－2＝60－2＝58。
答：这个数最小是58。
例4 如果某个整数除482、992、1094都余74，那么，这个整数是几？分析与解：分别从482、992、1094中减去余数74，新得到的3个数都是这个整数的倍数。
482－74＝408，992－74＝918，1094－74＝1020，即这个整数是408、918、1020的公约数。
(408，918，1020)＝102，这个整数只要是102的因数即可，又根据已知余数是74（余数要比除数小），所以这个整数只能是102。
答：这个整数是102。
例5 已知4434421Λ19911991199119911991个=a 。
问：a 除以13所得的余数是几？分析与解：观察数字a 的特点我们可以发现，1991＝9999－8008＝9999－1001×8，其中1001＝7×13×11，即1001是13的倍数，所以8008也是13的倍数，而9999＝1991＋8008，所以9999与1991除以13所得的余数相同，问题可转化为研究444344421Λ94199199991991999999999999）个（个⨯==b 除以13的余数。
由分析可知，a 与b 同余。
整理4434421Λ1)41991(1111111111119个⨯⨯=b ，注意到111111＝1001×111能被13整除，而1991×4＝6×1327＋2，所以119110011111111911111111111191)132761]213276[⨯+⨯=⨯=⨯+⨯4434421Λ4434421Λ个（个）（b ，数字b 与99同余。
又因为99＝7×13＋8，所以b除以13余8，也就是说a除以13也余8。
例6 从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。
按照上面的过程不断地重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米?分析与解：从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸片上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商。
而余数恰好是剩下的长方形的宽，于是有：2002÷847＝2……308，847÷308＝2……231，308÷231＝1……77。
231÷77＝3。
不难得知，最后剪得的正方形的边长为77毫米。
例7已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质。
请写出所有可能的答案。
分析与解：设这三个自然数为a、b、c，且a＜b＜c，因为两两均不互质，所以它们均是合数。
小于20的合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18。
其中只含1种因数的合数不满足题意，所以只剩下6，10，12，14，15，18这6个数，但是14＝2×7，其中只有14含有质因数7，无法找到两个不与14互质的数。
所以只剩下6，10，12，15，18这5个数存在可能的排列。
所以，所有可能的答案为(6，10，15)；(10，12，15)；(10，15，18)。
例8图中两个圆只有一个公共点A，大圆直径为48厘米，小圆直径为30厘米。
两只甲虫同时从点A出发，按箭头所指的方向以相同的速度分别爬了几圈时，两只甲虫首次相距最远?分析与解：圆内的任意两点，以直径两端点的距离最远。
如果沿小圆爬行的甲虫爬到A 点，沿大圆爬行的甲虫恰好爬到B点，则两只甲虫的距离最远。
小圆周长为π×30＝30π，大圆周长为48π，（一半便是24π），30与24的最小公倍数为120。
120÷30＝4 120÷24＝5所以小圆上的甲虫爬了4圈，大圆上的甲虫爬了5个12圆周长，即爬到过A的直径的另一点B时，两只甲虫首次相距最远。
（答题时间：30分钟）一、有一个整数，用它去除70、110、160得到的3个余数的和是50，求这个整数。
二、从1～5这5个自然数中任意选出4个数组成一个能被11整除的四位数。
问：这样的四位数共有多少个？三、甲、乙两个自然数，它们的和被3除余1，它们的差能被3整除，求甲数被3除的余数。
四、有苹果、橘子各一筐，苹果有240个，橘子有313个，把这两筐水果平均分给小朋友，已知苹果分到最后还剩2个，橘子分到最后还剩7个，那么最多有多少个小朋友？五、已知被除数比除数多78，被除数除以除数所得的商为6，余数为3，求被除数和除数各是多少？一、解：分别从70、110、160中去掉对应得到的余数，新得到的3个数都是所求整数的倍数，因此，它们的和也应是这个整数的倍数。
70＋110＋160－50=290，根据整除的性质，即290也是这个整数的倍数。
将290分解质因数，得到290=2×5×29，要满足3个余数之和是50，只有除数为29时，才符合条件，因此这个整数是29。
二、解：能被11整除的四位数，必须满足千位、十位上的数字之和等于百位、个位上的数字之和这个条件，因此要选出两对“和相等”的数，如：（1，4）和（2，3），可以组成8个满足条件的四位数：1243、1342、4213、4312、2134、2431、3124、3421。
同理，还可以选出（1，5）和（2，4）、（2，5）和（3，4）这两组数，每一组都能分别组成8个满足条件的四位数。
所以，这样的四位数共有8×3＝24（个）。
三、解：甲、乙两数的差能被3整除，即甲、乙两数被3除的余数相同。
一个自然数被3除的余数只有3种情况，即0、1、2。
下面分3种情况讨论：（1）如果甲、乙两数都能被3整除，那么它们的和也能被3整除，不符合题意；（2）如果甲、乙两数被3除都余1，那么它们的和被3除余2，也不符合题意；（3）如果甲、乙两数被3除都余2，那么它们的和被3除正好余1。
答：甲数被3除的余数是2。
四、解：从240个苹果中去掉2个，即将238个苹果平均分给这些小朋友，没有剩余；从313个橘子中去掉7个，即将306个橘子平均分给这些小朋友，也没有剩余。
那么238和306都是这些小朋友人数的倍数，这些小朋友的人数是238和306的公约数。
求最多有多少个小朋友，实际上就是在求238与306的最大公约数。
（238，306）=34，所以最多有34个小朋友。
答：最多有34个小朋友。
五、解：如果将被除数减去3，那么它正好是除数的6倍，此时，被除数比除数多78－3=75，75就是除数的（6－1）倍。
所以，除数是75÷（6－1）=15，被除数是15＋78=93。