同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷2006—2007学年第 一 学期课程名称：弹性力学 课号： 任课教师： 专业年级： 学号： 姓名：考试（√）考查（ ） 考试（查）日期： 2007 年1月 22 日 出考卷教师签名：朱合华、许强、王君杰、李遇春、陈尧舜、邹祖军、赖永瑾、蔡永昌教学管理室主任签名：1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分)（1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。
( ) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ϕ满足双调和方程022=∇∇ϕ，那么由),(y x ϕ确定的应力分量必然满足平衡微分方程。
（ ） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。
（ ） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。
（ ） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其截面扭矩均满足如下等式：⎰⎰=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。
（ ）（6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。
（ ） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。
（ ） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。
( ) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。
（ ） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。
( )2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。
）（共20分，每小题2分）(1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 的一门学科。
(2)平面应力问题的几何特征是： 。
(3)平衡微分方程则表示物体 的平衡，应力边界条件表示物体 的平衡。
(4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 。
(5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 。
(6)应力函数()4224,cy y bx ax y x ++=Φ如果能作为应力函数，其c b a ,,的关系应该是 。
(7)轴对称的位移对应的 一定是轴对称的。
(8)瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足 的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。
(9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且 。
(10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有 个，但其不为零的应力、应变和位移分量有 个。
3． 分析题（共20分，每题10分）（1）曲梁的受力情况如图1所示，请写出其应力边界条件（固定端不必写）。
图1（2）一点应力张量为0 1 2 1 1 2 1 0x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 已知在经过该点的某一平面上应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。
4．计算题（共40分）（1）图2中楔形体两侧受均布水平压力q 作用，求其应力分量（体力为零）。
提示：设应力函数为：2(cos )r A B ϕθ=+ （10分）图2（2） 如图3所示的悬臂梁结构，在自由端作用集中力P ，不计体力，弹性模量为E ，泊松比为μ，应力函数可取323Dy Cy Bxy Axy +++=ϕ，试求应力分量。
（15分）图3（3） 如图4所示，简支梁受均布荷载0p 和跨中集中荷载p 作用，试用瑞雷－里兹法求解跨中挠度。
挠度函数表达式分别为：(1) L x a w πsin =；（2）Lx b L x a w ππ3sin sin +=。
比较两种挠度函数计算结果间的差异。
（15分）图4L/2LpP同济大学本科课程期终考试（考查）统一命题纸 A 卷 标准答案2006—2007学年第 一 学期1．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。
）(每小题2分)（1）薄板小挠度弯曲时，体力可以由薄板单位面积内的横向荷载q 来等代。
(√) （2）对于常体力平面问题，若应力函数),(y x ϕ满足双调和方程022=∇∇ϕ，那么由),(y x ϕ确定的应力分量必然满足平衡微分方程。
（√） （3）在求解弹性力学问题时，要谨慎选择逆解法和半逆解法，因为解的方式不同，解的结果会有所差别。
（×） （4）如果弹性体几何形状是轴对称时，就可以按轴对称问题进行求解。
（×） （5）无论是对于单连通杆还是多连通杆，其载面扭矩均满足如下等式：⎰⎰=dxdy y x F M ),(2,其中),(y x F 为扭转应力函数。
（×）（6）应变协调方程的几何意义是：物体在变形前是连续的，变形后也是连续的。
（√） （7）平面应力问题和平面应变问题的应变协调方程相同，但应力协调方程不同。
（√） （8）对于两种介质组成的弹性体，连续性假定不能满足。
(×) （9）位移变分方程等价于以位移表示的平衡微分方程及以位移表示的静力边界条件。
（√） （10）三个主应力方向一定是两两垂直的。
(×)2．填空题（在每题的横线上填写必要的词语，以使该题句意完整。
）（共20分，每小题2分）(1)弹性力学是研究弹性体受外界因素作用而产生的 应力、应变和位移 的一门学科。
(2)平面应力问题的几何特征是： 物体在一个方向的尺寸远小于另两个方向的尺寸 。
(3)平衡微分方程则表示物体 内部 的平衡，应力边界条件表示物体 边界 的平衡。
(4) 在通过同一点的所有微分面中，最大正应力所在的平面一定是 主平面 。
(5)弹性力学求解过程中的逆解法和半逆解法的理论基础是： 解的唯一性定律 。
(6)应力函数()4224,cy y bx ax y x ++=Φ如果能作为应力函数，其c b a ,,的关系应该是033=++c b a 。
(7)轴对称的位移对应的几何形状和受力 一定是轴对称的。
(8)瑞利－里兹法的求解思路是：首先选择一组带有待定系数的、满足 位移边界条件或几何可能 的位移分量，由位移求出应变、应力，得到弹性体的总势能，再对总势能取极值。
(9)克希霍夫的直法线假设是指：变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且 长度不变 。
(10)一般说来，经过简化后的平面问题的基本方程有8个，但其不为零的应力、应变和位移分量有9个。
3． 分析题（共20分，每题10分） (1)主要边界：()()()()q b r r b r r a r r a r r -========θθτστσ,0,0,0 次要边界：()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==⎰⎰⎰===ba bar ba M Pe rdr P dr P dr ασατασθθθθθθsin cos sin 000(2) 一点的应力张量与该点的任意斜面上各应力分量的关系为：x xy xz yx y yz zx zy z X l m n Y l m n Z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭及 2221l m n ++= 故有20020y m n l m n l m σ⎫+=⎪++=⎬⎪+=⎭及 2221l m n ++= 解得：2 , , 2(1)0y m n l n n σ=-=-=210 ,6 1y n σ=≠∴=Q由此得：321321616161,1e e e ne me le v y ±±=++==μσ4．计算题（共40分）(1) 解：极坐标下的应力分量为：2222211cos 22(cos )1()sin r r A Br r r A B rA r r θθϕϕσθθϕσθϕτθθ∂∂=+=+∂∂∂==+∂∂∂=-=∂∂应力边界条件为：cos sin r q q θθαθθασατα=±=±=-=m将应力分量代入边界条件，可解得： 1,cos 2A qB q α=-=所以应力分量解答为：(cos cos )(cos 2cos )sin r r q q q θθσαθσαθτθ=-=-=-(2) 解：由题可知，体力X=0，Y=0，且为弹性力学平面应力问题。
1）、本题所设应力函数满足双调和方程：022=∇∇ϕ (a)2）、应力分量为：22222230626Ay B yx Yy x DyC Axy Xx y xy y x --=∂∂∂-==-∂∂=++=-∂∂=ϕτϕσϕσ(b)3)、用应力边界条件求待定常数A 、B 、C 、D ：应力边界条件，在上、下表面a y 2±=处，必须精确满足：0)( ,0)(22==±=±=a y xy a y y τσ (c)则有：0122=--Aa B (d)X=0的左边界为次要边界，利用圣维南原理则有： X 方向力的等效：βσsin )(220P dy aax x -=⎰-=；对0点的力矩等效：βσsin )(220Pa ydy aax x =⎰-=；Y 方向力的等效：βτcos )(220P dy aax xy -=⎰-=。
将式(b)代入上式得：βββcos 164sin 32sin 833P Aa Ba Pa Da P Ca -=--=-= (e)联立式(d)和式(e)，解得：ββββsin 32 ,sin 8 ,cos 83 ,cos 3223a PD a P C a P B a P A =-==-=；(4)、应力分量为：)141(cos 83 ,0 ),431(sin 4cos 163223-==---=y aa P y a a P xy a P xy y x βτσββσ(3) 解：1）挠度函数取为：(1) Lx a v πsin = 梁的总势能为Pa a L p a L EI L v P vdx x p dx dx v d EI LL--=--=∏⎰⎰ππ023402022242()()(2 对总势能求驻值P L p a L EI a --==∂∏∂ππ034220 得EIPL EI L p a 4354024ππ+=回代即得梁的挠度函数L x EIP L P L v πππsin )2(2503+= 令2l x =，则有跨中挠度EIPL EI L p a Lv 4354024)2(ππ+==2）挠度函数取为：Lxb L x a v ππ3sin sin += 梁的总势能为()()()b a P b a L p b a LEI Lv P vdx x p dx dx v d EI LL--+-+=--=∏⎰⎰328142()()(2022342022ππ对总势能求驻值022034=--=∂∏∂P L p a L EI a ππ 032812034=+-=∂∏∂P L p b L EI b ππ 得EI PL EI L p a 4354024ππ+=EIPL EI L p b 435408122434ππ-= 回代并令2L x =，即得梁的跨中挠度EIPL EI L p b a Lv 4354081164243968)2(ππ+=-=两种挠度函数假定下相差为 b 。