第四章 应力与应变的关系（二）物体由于受力而变形，如果将力去掉以后能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性变形。

如果将力去掉以后，不能恢复原形状，其中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉及塑性变形的力学，就叫塑性力学。

4.6 塑性的基础知识金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或位错所致。

因此塑性变形与剪切变形有关。

（1）塑性变形不引起体积的变化；（2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。

其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微观现象有很大的区别。

① 其破坏主要归于微裂纹的发展；② 塑性性状包含体积的改变；③ 拉压特性存在很大的区别。

简单拉压时的塑性现象 ① εσE =；② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服；④ 强化；软化；⑤ 卸载，再加载，后继屈服，s sσσ>'初始屈服条件 s σσ=； 后继屈服条件s σσ'=。

s σ' 与塑性变形的历史有关，)H(ps εσ='当 sσσ'<， 弹性阶段； s σσ'=， ⎩⎨⎧<>卸载加载0d 0d σσσσ⑥ Bauschinger 效应4.7 应力张量的分解（对第三章的补充）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m z yz xz zy m y xy zx yx mx m m m z yz xz zy y xy zx yx x 000000σστττσστττσσσσσστττστττσ记ij m m m m 000000δσσσσ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 可得：ij ij m ij s +=δσσ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z yz xz zy y xy zx yx x ij s s s s ττττττm x x s σσ-=m y y s σσ-=m z z s σσ-=应力球张量只引起体积的变化，而没有形状的改变。

应力偏张量只引起形状变化，而没有体积改变。

0s s s )s (I z y x ij 1=++=)()s s s s s s ()s (I 2zx2yz 2xy x z z y y x ij 2τττ+++++-=)s (det )s (I ij ij 3=因为 0)s s (s 2z y x =++)s s s s s s (-2s s sx z z y y x 2z2y2x++=++所以)s s s s s (s 31)s s s s s (s 32)s s s s s (s x z z y y x x z z y y x x z z y y x ++-++-=++-)]s s s s s (s -s s [s 31x z z y y x 2z 2y 2x ++++= ])s -s ()s -(s )s [(s 612x z 2z y 2y x ++-=])-()-()[(612x z 2z y 2y x σσσσσσ++-=所以)](6)-()-()[(61)s (I 2zx 2yz 2xy 2x z 2z y 2y x ij 2τττσσσσσσ+++++-=)s (I ij 2也可以写成如下形式：ijij 2zx 2yz 2xy 2z 2y 2x 2zx2yz 2xy x z z y y x ij 2s s 21)](2)s s s [(21)()s s s s s s ()s (I =+++++=+++++-=ττττττ如果坐标轴为主轴，则有0s s s s )s (I 332211ii ij 1=++==])-()-()[(61)s (I 213232221ij 2σσσσσσ++-=321m 3m 2m 1ij 3s s s )-)(-()()s (I =-=σσσσσσ4.8 八面体应力、应力强度（第三章的补充）31n m l ===l n m l f 1zx yx x vx σττσ=++=m n m l f 2zy y xy vy στστ=++= n n m l f 3z yz xz vz σσττ=++=)(31n m l f f f f 2322212232222212vz 2vy 2vx v σσσσσσ++=++=++=m 321232221vz vy vx oct )(31nm l n f m f l f σσσσσσσσ=++=++=++=23212322212oct2v oct )(91)(31f σσσσσσστ++-++=-=)(231133221232221σσσσσσσσσ+--++=)(231133221232221σσσσσσσσσ+--++=213232221)-()-()(31σσσσσσ++-=])-()-()[(6132213232221σσσσσσ++-=)s (I 32ij 2=定义应力强度])-()-()[(21213232221i σσσσσσσ++-=)s (3I 23ij 2oct ==τ对于一维拉压问题σσ=1，032==σσσσ=i4.9 应变张量的分解（第四章的补充）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m z yz 21xz21zy 21m y xy 21zx 21yx 21m x m m m z yz 21xz 21zy 21yxy 21zx 21yx 21x000000εεγγγεεγγγεεεεεεγγγεγγγε记ij m m mm 000000δεεεε=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 可得：ij ij m ij e +=δεε偏应变张量ij e⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---m z yz 21xz21zy 21m y xy 21zx21yx 21m x εεγγγεεγγγεε主偏应变为 1e ，2e ，3e ，三个偏应变不变量为：0e e e J 3322111=++=' )e e e ()e e e e e e (J 2312232121133332222112+++++-='321ij 3e e e )e (det J =='其中2J '可表示为 ij ij 2e e 21J =')](6)-()-()[(612312232122x z 2z y 2y x εεεεεεεεε+++++-= )](23)-()-()[(612312232122x z 2z y 2y x γγγεεεεεε+++++-= ])-()-()[(61213232221εεεεεε++-= 定义应变强度2i J 32'=ε])-()-()[(92213232221εεεεεε++-=对于一维拉压问题εε=1，εεε21-32==（塑性变形时泊松比取0.5）εε=i4.10 应力空间A O A O A A A O OA '+''=''+''=直线 L （A O ''）上 321σσσ==，代表应力球张量。

垂直L ，通过坐标原点的平面称为π平面，0321=++σσσ注意到 0s s s 321=++可知A O '总是在π平面内的。

在π平面内投影()2322222=⎪⎭⎫⎝⎛-；32cos =β 即原来长度为1的变为32。

⎪⎭⎫ ⎝⎛σσ=⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ111161-,2232213223⎪⎭⎫ ⎝⎛σ3202⎪⎭⎫⎝⎛σσ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛σ-σ-333361-,2232213223()()3131s s 2222x -=σ-σ=()()312312s -s 2s 61-261y -=σσ-σ=采用极坐标i ij 22232)s (2I y x r σσ==+=σσμσσσσσθ31--231x y tg 31312=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==σμ为Lode 参数。

由 ()31s s 22x -= 可得σσθcos r 2x 2s s 31==-利用)s s (s 312+-=由 ()312s -s 2s 61y -=可得σσθsin r 32y 32s s 31-=-=+得到)32(sin r 32s 1πθσσ+=)32(sin r 32s 3πθσσ-=而σσθsin r 32)s s (s 312=+-=4.11 屈服条件(1)Tresca 屈服条件（图2-8（b ））k 21231max =-=σστ （k 即为屈服应力s σ） k 31=-σσ2k )(21x 31=-=σσ(2)Mises 屈服条件（图2-8（b ））圆的半径为32k 232kcos302k o==圆的方程为22232k y x ⎪⎭⎫⎝⎛=+因为()3122x σσ-=()312-261y σσσ-= 可得22132322212k)-()-()(=++-σσσσσσ因为213232221i )-()-()(21σσσσσσσ++-=所以 k i =σs 2I 3σ='(1)Tresca 条件与Mises 条件比较 取 s σ=k ， s σ为单向拉压时的屈服应力。

对于Tresca ：s 31σσσ=-，即1s31=-σσσ 对于Mises ：2s 2232y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛=+σ，即()2312s 31123123σμσσσ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y x (σσμθ31x y tg ==)2s 3132σμσσσ+=-拉压时 12=σμ，1s31=-σσσ剪切时 02=σμ，15.132s 31==-σσσ (4)Lode 实验4.12 加、卸载准则初始屈服面 0)(=ij f σ 后继屈服面0),(=k f ij σk 为硬化参数。

(1) 理想弹塑性材料的加载和卸载准则0)(<ij f σ 弹性 0)(=ij f σ 且0)()(=∂∂=-+=ij ijij ij ij d f f d f df σσσσσ加载0)(=ij f σ 且0)()(<∂∂=-+=ij ijij ij ij d ff d f df σσσσσ卸载。

以ijf σ∂∂为分量的矢量就是函数f 的梯度，所以 0)(=ij f σ，0=⋅σd n 加载0)(=ij f σ，0<⋅σd n 卸载(2) 硬化材料的加载和卸载准则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫<⋅<∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 卸载⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋅=∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 中性变载⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫>⋅>∂∂=000),(σσσσd n d f k f ij ijij 即 加载4.13 硬化模型（1） 单一曲线假设 单向拉压曲线 )(εσΦ=假设应力强度与应变强度的关系与单向拉压曲线一致，所以)(i i εσΦ= （2） 等向硬化条件 Mises 初始屈服条件 s i k σσ== 后继屈服条件)(⎰=pi i d H εσ，其中s H σ=)0(ij ij 2e e 21J =')(213232J 322222222i zx yz xy z y x ijij e e e e e γγγε+++++=='=因为 ij ij m ij e +=δεε，即m x εε-=x e ，m y εε-=y e , m z z e ε-ε=由于塑性变形只涉及形状的改变而没有体积的变化，所以px ε=p xe ，p y ε=p ye ，p z ε=p ze塑性应变增量强度222)(21)(3232zx p x pijp ij pi d d d d d γεεεε++==一维拉伸时，)(⎰=pi i d H εσ变为)()(⎰==ppd H H εεσ我们感兴趣的是H '。