专题分层训练(二十七) 小题综合限时练(4)(时间：45分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( ) A．(0,4] B．[0,4)C．[－1,0) D．(－1,0]解析∵集合M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}．N＝{x|0≤x≤5}，∴M∩N＝{x|0≤x<4}．答案 B2．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，且l∥α，则下列命题正确的是( )A．若l∥m，则m∥αB．若m∥α，则l∥mC．若l⊥m，则m⊥αD．若m⊥α，则l⊥m解析由l∥α，l∥m，可得m⊂α或m∥α，A不正确；由l∥α，m ∥α，可得l∥m或l，m相交或l，m互为异面直线，B不正确；由l∥α，l⊥m，可得m∥α或m，α相交，C不正确；由l∥α，m⊥α，可得l⊥m，D正确．答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ∈[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( )A ．(0，π)B ．(－π，π)C ．(lg π，1)D ．(π，10)解析 函数f (x )的图象如图所示，结合图象可得x 1＋x 2＝－π，x 3＋x 4＝π， 若f (x )＝m 有5个不等的实数根， 需lg π<lg x 5<1，得π<x 5<10， 又由函数f (x )在[－π，π]上对称， 所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝0，故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围为(π，10)． 答案 D 4．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.答案 A5．在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥62”发生的概率为( )A.14B.13C.12D.23解析因为⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ≥62，0≤x ≤π，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥32，0≤x ≤π，即π12≤x ≤5π12.根据几何概型的计算方法，所以所求的概率为P ＝5π12－π12π＝13.答案 B6．下列不等式中，一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析 取x ＝12否定A ，取x ＝－π4否定B ，取x ＝0否定D ，故选C.答案 C7．已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 等于( )A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.80解析 代入样本点中心(x －，y －)，可知a ＝1.45. 答案 B8．定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)解析 因为函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a |个单位(a <0左移，a >0右移)可得函数y ＝f (x )的图象，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，说明x 1与对称轴的距离比x 2与对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．答案 A9．已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点和顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为( )A.13B.12C.33D.22解析 设椭圆的焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题意可知双曲线方程为x 2c2－y2b2＝1，其渐近线方程为y＝±bcx，又双曲线的两条渐近线与椭圆的焦点构成的四边形恰为正方形，所以由椭圆的对称性知双曲线的渐近线方程为y ＝±x，即b＝c，所以a＝b2＋c2＝2c，所以椭圆的离心率为22.答案 D10．在平面上，AB→1⊥AB→2，|OB→1|＝|OB→2|＝1，AP→＝AB→1＋AB→2.若|OP→|<12，则|OA→|的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，52B.⎝⎛⎦⎥⎥⎤52，72C.⎝⎛⎦⎥⎥⎤52，2 D.⎝⎛⎦⎥⎥⎤72，2解析根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|＝a，|AB2|＝b，点O的坐标为(x，y)，则点P的坐标为(a，b)，由|OB1→|＝|OB2→|＝1得⎩⎪⎨⎪⎧(x－a)2＋y2＝1，x2＋(y－b)2＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧(x－a)2＝1－y2，(y－b)2＝1－x2，又由|OP→|<12，得(x－a)2＋(y－b)2<14，则1－x2＋1－y 2<14，即x 2＋y 2>74① 又(x －a )2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＋a 2＝1＋2ax ≤1＋a 2＋x 2，则y 2≤1； 同理，由x 2＋(y －b )2＝1，得x 2≤1，即有x 2＋y 2≤2② 由①②知74<x 2＋y 2≤2，所以72<x 2＋y 2≤ 2.而|OA →|＝x 2＋y 2，所以72<|OA →|≤ 2.答案 D11．函数y ＝xsin2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，π2的图象可能是下列图象中的( )解析 由函数y ＝xsin2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2是偶函数，排除A ；又由函数y ＝sin2x ，y ＝2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的图象可知恒有2x >sin2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ＝xsin2x >12，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，排除B 和D ，故选C.答案 C12．函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的；②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④D ．③④解析 ①中，反例：取函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，x ∈[1，2)∪(2，3]，2，x ＝2，则函数f (x )满足题设条件具有性质P ，但函数f (x )的图象不是连续的． ②中，反例：f (x )＝－x 在[1,3]上具有性质P ，f (x 2)＝－x 2在[1，3]上不具有性质P .③中，在[1,3]上，f (2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋(4－x )2≤12[f (x )＋f (4－x )]⇒⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋f (4－x )≥2，f (x )≤f (x )max＝f (2)＝1，f (4－x )≤f (x )max＝f (2)＝1⇒f (x )＝1，所以，对于任意x 1，x 2∈[1,3]，f (x )＝1.④中，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)4 ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42⇒12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(f (x 1)＋f (x 2))＋12(f (x 3)＋f (x 4))≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]． 由以上推断可知①②错误，③④正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共20分)13．执行下面的程序框图，则输出的S 的值是________．解析 由程序框图知，当n ＝1时，S ＝1＋21＝3；当n ＝2时，S ＝3＋22＝7；当n ＝3时，S ＝7＋23＝15；当n ＝4时，S ＝15＋24＝31；当n ＝5时，S ＝31＋25＝63>33，循环结束，故输出S 的值是63.答案 6314．如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的点，AP ＝a3，过P 、M 、N的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.解析如图所示，连接AC ， 易知MN ∥平面ABCD ， ∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23， ∴PQ ＝23AC ＝223a .答案223a 15．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m|m |＝3，则双曲线的离心率为________．解析 设AB →与m 的夹角为θ，则AB →·m |m |＝6cos θ＝3，所以cos θ＝12.所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角， 可得ba＝ 3.当λ>0时，此时e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2； 当λ<0时，e ＝cb＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝233.答案 2或23316．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0,2]时，，若x ∈[－4，－2)时，f (x )≥t4－12t恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析 当－4≤x <－3时，0≤x ＋4<1，f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)＝14[(x ＋4)2－(x ＋4)]，即f (x )＝14(x ＋4)(x ＋3)．此时，－116≤f (x )≤0.当－3≤x <－2时，1≤x ＋4<2，-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)此时，－14≤f (x )≤－28. 所以f (x )在[－4，－2)上的最小值为－14. f (x )≥t 4－12t恒成立， 则t4－12t ≤－14， 即t 2＋t －2t ≤0，(t ＋2)(t －1)t≤0， 即t ≤－2或0<t ≤1.答案 (－∞，－2]∪(0,1]。