高一下数学期末试题
一、选择题
（1）0
sin 75的值等于（ ）（A B C （D
（2 ）（A ）0cos 220（B ）0cos80（C ）0
sin 220（D ）0
sin80 （3）化简sin()sin cos()cos x y x x y x +++等于（ ）
（A ）cos(2)x y +（B ）cos y （C ）sin(2)x y +（D ）sin y （4）下列函数中是周期为π的奇函数的为（ ） （A ）x y 2
sin 21-=（B ）)32sin(3π
+=x y （C ）2
tan x
y =（D ）)2sin(2π+=x y （5）为了得到函数13sin 25y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭，x R ∈的图象，只需把函数1
3sin 2
5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象
上所有点（ ）（A ）向左平行移动
25π个单位长度（B ）向右平行移动25
π个单位长度 （C ）向左平行移动45π个单位长度 （D ）向右平行移动45
π
个单位长度
（6）已知tan 2α=，tan 3β=，且α、β都是锐角，则α＋β等于（ ）
（A ）
4π（B ）43π（C ）4
π或43π
（D ）43π或45π
（7）已知a ＝（2，3），b ＝（x ，－6），若a ∥b ，则x 等于（ ）
（A ）9 （B ）4 （C ）－4 （D ）－9 （8）已知a 、b 是两个单位向量，下列四个命题中正确的是（ ）
（A ）a 与b 相等（B ）如果a 与b 平行，那么a 与b 相等 （C ）a ·b ＝1 （D ）a 2＝b 2 （9）在△ABC 中，已知AB ＝（3，0），AC ＝（3，4），则cos B 的值为（ ）
（A ）0 （B ）
53（C ）5
4
（D ）1 （10）已知|a |＝3，|b |＝4（且a 与b 不共线），若(a k ＋b )⊥(a k －b )，则k 的值为（ ）
（A ）－
43（B ）43（C ）±43（D ）±3
4
（11）已知|a |＝3，b ＝（1，2），且a ∥b ，则a 的坐标为（ ）
（A ）（B ）（C ）
（D
）（
5
，5
）或（－5
，－5
） （12）已知向量a ＝（1，－2），b ＝13,
x ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，若a ·b ≥0，则实数x 的取值范围为（ ） （A ）2(0,)3（B ）2(0,]3（C ）(,0)-∞∪2[,)3+∞（D ）(,0]-∞∪2[,)3
+∞ 二、填空题
（13）在三角形ABC 中，已知a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且a ＝6，b ＝32，A ＝4
π
，则角B 的大小为. （14）已知3cos 45
x π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，则sin 2x 的值为. （15）若将向量)1,2(=绕原点按逆时针方向旋转4
π
，得到向量，则向量的坐标是 （16）已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为3
π
，则向量2a －3b 与a ＋5b 的夹角大小为. 三、解答题） （17）已知12cos 13θ=-
，3,
2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，求tan 4πθ⎛
⎫- ⎪⎝⎭的值.
（18）已知函数()sin y A x ωϕ=+，x R ∈（其中A ＞0，ω＞0，
||ϕ＜2
π
)的部分图象如图所示，求这个函数的解析式.
（19）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机
的高度为海拔25000米，速度为3000米/分钟，飞行员先在点A 看到山顶C 的俯角为300，经过8分钟后到达点B ，此时看到山顶C 的俯角为600，则山顶的海拔高度为多少米.
＝1.414
1.732
＝2.449）. （20）已知|a |＝3，|b |＝2，且3a ＋5b 与
4a －3b 垂直求a 与b 的夹角.
（21）已知向量a ＝（3cos
2x ，3sin 2
x ），b
＝
（cos
2x ，－sin 2x ），且[0,]2
x π∈. （Ⅰ）用cos x 表示a ·b 及|a ＋b |；（Ⅱ）求函数f (x )＝a ·b ＋2|a ＋b |的最小值.
（22）已知向量a 、b 、c 两两所成的角相等，并且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3. （Ⅰ）求向量a ＋b ＋c 的长度； （Ⅱ）求a ＋b ＋c 与a 的夹角.
参考答案
一、选择题
二、填空题 （13）
6π （14）725 （15
）)223,2
2( （16）2
π 三、解答题
（17）解：∵12cos 13
θ=-
，且
3,
2π
θπ⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，∴5sin 13θ=-， 则 5tan 12θ=， ∴tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝tan 11tan θθ-+
＝51125112-+＝－717. （18）解：（Ⅰ）根据题意，可知A ＝ 且4
T
＝6－2＝4，所以T ＝16，
于是 ω＝
28T ππ= 将点（2，8y x πϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，得 28πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭， 即sin 4πϕ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
＝1， 又||ϕ＜2π，所以ϕ＝4π.
从而所求的函数解析式为：8
4y x π
π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭，x R ∈
（19）解：如图，过C 作AB 的垂线，垂足为D ，
依题意，AB ＝3000·8＝24000米， 由∠BAC ＝300，∠DBC ＝600，
则∠BCA ＝300，∴BC ＝24000米， 在直角三角形CBD 中， CD ＝BC ·0
sin 60
＝24000·0.866＝20784米，
4216
故山顶的海拔高度为25000－20784＝米.
（20）解：∵3a ＋5b 与4a －3b 垂直，
∴ （3a ＋5b ）·（4a －3b ）＝0， 即 12|a |2＋11a ·b －15|b |2＝0， 由于|a |＝3，|b |＝2，∴a ·b ＝－
4811
，
则 cos ,||||a b a b a b ⋅<>=
⋅＝－811， 故a 与b 的夹角为8arccos 11⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
（21）解：（Ⅰ）a ·b ＝3cos
2x cos 2x －3sin 2x sin 2
x
＝cos2x ＝2cos 2x －1，
|a ＋b |2|cos x |， ∵[0,
]2
x π
∈，∴cos x ≥0，∴|a ＋b |＝2cos x .
（Ⅱ）f (x )＝a ·b ＋2|a ＋b |＝2cos 2x －1＋4cos x ＝2(cos x ＋1)2－3， ∵[0,
]2
x π
∈，∴ 0≤cos x ≤1， ∴ 当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1.
（22）解：（Ⅰ）设向量a 、b 、c 两两所成的角均为θ，则θ＝0或θ＝
23
π
， 又|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3. 则当θ＝0时，
a ·
b ＝|a |·|b |cos θ＝2， b ·
c ＝|b |·|c |cos θ＝6， c ·a ＝|c |·|a |cos θ＝3，
此时 |a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝14＋22＝36，∴|a ＋b ＋c |＝6； 当θ＝
23
π
时， a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝－1， b ·c ＝|b |·|c |cos θ＝－3，
c ·a ＝|c |·|a |cos θ＝－3
2
，
此时 |a ＋b ＋c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝14－11＝3，∴|a ＋b ＋c |（Ⅱ）当θ＝0，即|a ＋b ＋c |＝6时，a ＋b ＋c 与a 的夹角显然为0；
当θ＝
23π，即|a ＋b ＋c |时，∵ （a ＋b ＋c ）·a ＝－3
2
，且|a ＋b ＋c |·|a |， cos <a
＋b ＋c ，a >＝－2，∴a ＋b ＋c 与a 的夹角为56
π
.。