高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝ ．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝ ．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P (1，－2)，则sin2α＝ ． 4．在△ABC 中，若AC ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC ＝ ． 5．在△ABC 中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则cos C ＝ ． 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ ． 7．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则a 5＋a 7＝ ． 8．若关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b ＝ ． 9．若关于x 的不等式1＋k x －1≤0的解集是[－2，1)，则k ＝ ．10．若数列{a n }满足a 11＝152，1 a n +1－1a n ＝5(n ∈N *)，则a 1＝ ．11．已知正数a ，b 满足1a ＋2b ＝2，则a ＋b 的最小值是 ．12．下列四个数中，正数的个数是 ．①b ＋m a ＋m －ba，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N *； ③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ；④x 2＋3x 2＋2－2，x ∈R . 13．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan Ctan B ＝1，则a 2＋b 2c2＝ ．14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)设f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R )． (1)当t ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集； (2)已知f (x )≥0对一切实数x 成立，求t 的值．16．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2 x ＋23sin x cos x (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在0＜x ≤π3的条件下，求f (x )的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12.(1)求角A 的大小；(2)当a ＝5，b ＝4时，求△ABC 的面积．18．(本题满分16分)已知{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12．(1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？如图，扇形AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB 的大小等于π3，半径OA＝200m ，点M 在半径OA 上，点N 在AB 弧上，且MN ∥OB ，求观光道路OM 与MN 长度之和的最大值．20．(本题满分16分)设正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝11＋a n ， n ∈N *.(1)证明：若a n ＜5－12，则a n ＋1＞5－12； (2)回答下列问题并说明理由： 是否存在正整数N ，当n ≥N 时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0.001恒成立?高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．6 －24 2．12 3．－45 4． 2 5．－14 6．12 7．80 8．1 9．3 10．1211．12(3＋22) 12．2 13．3 14． (n －1)2n ＋2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)当t ＝3时，不等式f (x )＞0与不等式x 2－4x ＋3＞0同解，得(x －1)(x －3)＞0， ……………………………………… ........................3分 不等式f (x )＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分 (2)不等式f (x )≥0对一切实数x 成立等价于△＝(t ＋1)2－4t ≤0，........................10分 即(t －1)2≤0， 即t ＝1． ........................14分 16．(1)f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1， …… ........................6分所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分(2)0＜x ≤π3时，π6＜2x ＋π6≤5π6， …........................10分函数y ＝sin x 在区间[π6，π2]是增函数，在区间[π2，5π6]是增函数，f (x )的值域是[2sin 5π6＋1， 2sin π2＋1]，即[2，3]． ........................14分17．(1)由cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12得cos(B ＋C )＝－12， ........................4分∴cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3; ........................7分(2) 由c 2＋42－2×c×4 cos π3＝52 及c ＞0得c ＝2＋13， ........................11分△ABC 的面积S △ABC ＝12×4×(2＋13)×sin π3＝23＋39． .........................14分18．(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1 (a 1＋4d )，∴d ＝0，或d ＝2 a 1， ........................4分 当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30， ........................6分 当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， .........................8分∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ， ........................12分 当n ≤5时，b n ＞0， 当n ≥6时，b n ＜0， 当n ＝5时，S n 最大，S n 最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25． ........................16分 19．连ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜π3,在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝2π3，200sin 2π3＝MN sin θ＝OMsin(π3－θ)， ........................4分 ∴MN ＝4003sin θ， OM ＝4003sin(π3－θ)， ........................8分MN ＋OM ＝4003[ sin θ＋sin(π3－θ)]＝4003( sin θ＋32cos θ－12sin θ)＝4003sin(π3＋θ)， ........................13分∵0＜θ＜π3，∴π3＜π3＋θ＜2π3，∴当θ＝π6时，sin(π3＋θ) 最大，MN ＋OM 最大，最大值是40033m ． ........................16分20．(1)若0＜a n ＜5－12，则0＜1＋a n ＜1＋5－12， 则a n ＋1＝1 1＋a n ＞11＋5－12＝5－12; ........................4分(2)仿(1)可得，若a n ＞5－12，则a n ＋1＜5－12， ........................6分 则n ≥2时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＝｜a n ＋1－a n ｜ ＝｜1 1＋a n －11＋a n －1｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝1 1＋a n＜1 ( n ∈N *)，∴n ≥2时， a n ＝1 1＋a n －1＞12，又a 1＝12，∴n ≥2时， (1＋a n ) (1＋a n －1)＝(1＋1 1＋a n －1) (1＋a n －1)＝2＋a n －1≥52，...................8分∴｜a n ＋1－a n ｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)≤25｜a n －a n －1｜≤(25)2｜a n －1－a n －2｜≤…≤(25)n －1｜a 2－a 1｜＝16×(25)n －1， ........................12分数列{16×(25)n －1}递减，16×(25)7－1＜0．001，只要N ≥7，当n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001， 即｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0．001成立． ........................16分。