解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则
z2 ( 40 x )2 y2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
2z dz 2( 40 x ) dx 2 y dy
y
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 ,
dx 15 dt
2
4 1 x2 1
8.x y－2x y 0 ，求y( x)
9.
设2
x arctant y ty2 et
5
求 dy dx
高阶导数问题 1. e xy2 ex y ，求y(0) 2.xe f ( y) e y ( f ( y) 1).求y( x) 3.x y y , 求 d 2 y
4 .设对x, y R,有 f (x y) f (x) f ( y) 2xy，f (0) 2
求f (x).
5.
设 ( x) 在 x = a 处连续，讨论
① f ( x) ( x a) ( x)
② f ( x) | x a | ( x)
③ f ( x) ( x a) | ( x) | 在 x = a 处的可导性
; y 15 时 ,
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 20 15 15 25 3 ( km/h )
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以 dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
求导问题
一阶导数问题
一.选择题
1.若f (x) e3 x sin 3x，则下列结论正确的是
因此要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
即只须lim xn sin 1 0 f (0)
x0
x
② 要使 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
n0
xn sin 1 0
lim
x
x0
x
n1
lim xn1 sin 1
x0
x
此时 f (0) 0
存在
则 f (2) ____.
6.y lim x(t x)t ,则y ____________ t t x
三.1.已知 f (1) 0, f (1) 2, 求
lim f (sin2 x cos x)
x0
x tan x
2.设f (x)有一阶连续导数，f (1) 2,求 d
lim f (cos x) x0 dx 3 .设对x R,有 f (x 1) kf (x),当0 x 1时, f (x) x(1 x2),问在x 0处 f (x)是否可导？
④ 要使 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
nx n1 sin 1 xn2 cos 1
lim
x
x
x0
x
lim[nx n2 sin 1 xn3 cos 1 ] 存在
x0
x
x
n 3 此时 f (0) 0
7. y 1 arctan
1 x2 1 ln
1 x2 1,求 y.
( A). f (0) 3 (C). f (0) 1
(B). f (0) 1 3
(D). f (0)不存在
2.设f (x) x x3 x ，则f (x)
( A).处处可导
(B).有且仅有一个不可导点
(C).有且仅有两个不可导点 (D).有三个不可导点
二.填空题：
1.当x 0时, f (x x) f (x) 3x为比x高阶的 无穷小,则f (x) ____.
2.设f
(x)
b
ax 1
2cos
2
x
则a
x 1在x 1处可导， x 1
x2
3.设f
(x) 2x33x 1，则f (x) _____ x 1
4. y f (3x 2), f (x) arcsin x4 , dy ____.
3x 2
dx x0
5.设f (x)是g(x)的反函数，且g(1) 2, g(1) 3 ， 3
③ 当x 0时 f ( x) nx n1 sin 1 xn2 cos 1
x
x
f (0) 0
要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
即只须lim f ( x) f (0) 0
x0
lim[nx n1 sin 1 xn2 cos 1 ] 0 n 2
x0
x
x
注：若f ( 0 ) 0
解：设气球上升 t 秒后其高度为 h ，
观察员的仰角 为 , 则
tg h ,
500
其中 , h 都是时间 t 的函数。
h
500
上式两边对 t 求导，得 ：
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
已知 dh 140m / min ,又当h 500m 时 , dt
tg 1, sec2 2 代入上式得
. 相关变化率
设x x( t ) , y y( t ) 都是可导函数 , 变量 x 和 y 之间存
在某种对应关系 , 如果已知 x (或 y )对 t 的变化率 ,要求
y (或 x )对 t 的变化率,这种问题称为相关变化率问题 。
例1. 一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升 其速率为 140 米/秒 。当气球高度为 500 米时 ，观察员 视线的仰角增加率是多少 ？
dx2
x
4.
y
t t
1
t 1
,求
dx dy
d2x , dy2
t
5.
yx（（31t2l2nlnt） t）,求
d2 dy
x
2
t
3
t
5. y
1
5 x－6 x 2
,求y( 100
6. 在什么条件下，函数
f
(
x
)
x
n
sin
1 x
x0
0
x0
① f ( x)连续 ② f (0)存在
③ f ( x)连续
解 首先注意到
当 0时 lim x sin 1 不存在
x0
x
当 0时 lim x sin 1 0
x0
x
① 当x 0时，f ( x) xn sin 1 是初等函数，连续 x
h
500
d 70 0.14 度/秒
dt 500
即观察员视线的仰角增加率是 0.143 弧度/秒 。
例 2. 甲船向正南乙船向正东直线航行 , 开始时甲 船恰在乙船正北 40 km处 , 后来在某一时刻测得甲船 向南航行了 20 km , 此时速率为 15km/h ;乙船向东航行 了15 km , 此时速率为 25km/h 。问这时两船是在分离 还是在接近 ，速率是多少 ？