质点系的总角动量 质点系的总转动力矩
n
L Li
i 1


net i
1）系统内力作用于质点上的内力力矩
成对出现。大小相等、方向相 反，作用在同一条直线上
内力矩总和 为0
2）系统外力作用于质点上的外力矩
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net i ext
总结
1、质点角动量
L r p
2、刚体绕固定轴旋转的角动量 L I
3、刚体定轴转动定律


dL dt
L

I


dL dt
4、角动量守恒定律：当刚体所受的合外力矩为零时，
即有
dL dt

0
，L
为常量
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习题 : 5，17，19
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例题11-4 ：在一个圆形平台上奔跑 假设一个60kg的人站在直径为6米的圆形平台的边缘， 平台安装在无摩擦的轴承上，其转动惯量为1800 kg m2。
最初平台是静止的，当人开始以4.2m/s的速度(相对于 地球)在平台的边缘奔跑时，这个平台开始沿相反的方 向旋转，如图所示。计算平台的角速度。


i
dL dLi
dt i dt

ext

dL
dt
ext
质点系的总角动量的变化率等于作用于系统的 合外力矩
注意：
上述公式适用于 （1）参考点为惯性参考系中的原点； （2）参考点为质点系或刚体的质心。
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§11-2 刚体的角动量
对于绕固定轴oz转
动的质元
解答：我们将桌子、人、自行车轮看作 一个系统，系统角动量守恒。 故自行车轮反方向旋转后系统仍需保持 此角动量。因此可以断言：此人将按照 自行车轮初始的旋转方向开始转。
如果此人将自行车转轴旋转90°至 水平状态，会发生什么状况？（a） 和此例中相同的方向和速度；（b） 和此例中相同的方向，但速度减慢； （c）和此例相反的结果
§11-1 角动量 物体绕定轴旋转

一、质点的角动量
L
对于定点转动而言：
L

r

P
r mv
r o
r sin
P

mv

m
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二、质点角动量定理
平动中合外力和动量的关系 相对于惯性参考系原点

F

dp dt
L rp
对角动量取微分
dL

d
r
t
2s
(c) 起初，MA是以不变的1 旋转(我们
忽略摩擦)。此时应用角动量守恒定律
IA1 IA IB 2
2


I
A
IA
IB
1


MA MA MB
1


165..00kkgg7.2 rad
s
2.9 rad
s
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§11-3 角动量守恒


dL dt
由上式可知合外力矩为零时，角动量守恒，即：
当 0时，L I 常数
角动量守恒定律：当物体合外力矩为零时，转 动物体的角动量守恒，即转动物体总角动量保 持恒定不变。
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例如：花样滑冰运动员 的“旋”动作 再如：跳水运动员的“团 身--展体”动作
R12
R
2 2


R2
v1 R1

R12
R
2 2


v1
R1 R2


2.4m/s

0.80m 0.48m


4.0m/s
可见当小球旋转半径减小时，速度增加
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例题11-2 离合器 一个简单的离合器包括两个圆盘，通过压紧 可实现传动。这两块圆盘的质量分别是MA = 6.0 kg，MB = 9.0 kg，半径均为Ro = 0.60 m。最初两圆盘分开(如图所示）。圆 盘MA的角速度从0增加到 1=7.2 rad/s，所需时间Δt=2s。计算 （a）MA的角动量；（b）MA角速度从0增加到7.2 rad/s所需要的 力矩；（c）圆盘MB最初在无摩擦力作用的情况下可以自由旋 转，将其与另一个自由旋转圆盘MA紧密连接，两个圆盘都以一 个恒定的角速度 旋2转， 大大低于 ，1为什么会发生这种现象？ 等于多2少?
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花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速
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解题思路：作用在小球上的拉力沿径向，对转轴的力臂为零， 因此作用在小球m上合外力矩为零，体系角动量守恒。
I11 I22 I mR 2
v R,
v2

R 22

R 21

所以L为常量，即dA/dt为常量。 开普勒定律得证
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例11-12 一个质量为m的子弹以速度v击中一个质量为M半径为 R0的圆柱边缘，且子弹嵌入圆柱中，如图所示。圆柱原来静止 ，被子弹击中后开始绕其对称轴（位置固定）转动。假设无摩 擦力矩。子弹击中后圆柱的角速度为多少？动能是否守恒？
p
dr

p

r
dp
dt dt
dt
dt
其中 所以
dr

p

v

mv

mv

v

0
dt dL

r

dp
r F
dt
dt
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三、质点系的角动量和转动力矩：一般运动
质点系由n个质点组成，角动量分别是 L1,L2 ,L3........, Ln
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例11-8 阿特伍德机 阿特伍德机包含两个物体，m1(mA)和m2(mB)，这两个物体用一 根无弹性的不计质量的绳子通过滑轮相连，如图所示。若滑轮 的半径为R0，对轮轴的转动惯量为I，求两物体的加速度，并将 此结果同忽略滑轮转动惯量的结果进行对比。
系统总角动量
系统对O轴的合外力矩（顺时针方向为正）
L I
解：（a）MA的角动量是
LA

IA1

1 2
MA
R
2
01
1 6.0kg 0.60m2 7.2rad/s 7.8kg m2 /s
2
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（b）圆盘从0开始加速，假设力矩为常数，则力矩为：
L 7.8kg m2/s - 0 3.9m N
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练习：假设你站在一张很大，且匀速转动的桌面边沿。 如果你朝桌子中心走去，那么（a）桌子转速将减慢； （b）桌子转速加快；（c）转速不变；（d）需先知道 行走的速度才能回答。
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猫从很高的地方跳下来，通常 都是脚着地，为什么呢？
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思考：直升机的尾桨起了什么作用？
解题思路：
角动量守恒 L Lper Lplat
Lper mR2 v R
L plat I
mRv 60kg 3.0m4.2m/s 0.42rad/s
I
1800 kg m 2
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例11-5 一人站在一个静止的、无摩擦的、可自由旋转的 台面上，手持一个旋转的自行车轮（如图所示）。如果 突然翻转旋转的车轮，即车轮向相反方向旋转，想想看 会发生什么情况？
解题思路：将子弹和圆柱看作一 个系统 系统合外力矩为0，角动量守恒 初始圆柱静止，系统对参考点O 的角动量=子弹角动量=mvR0 子弹击中后，圆柱和嵌入其中的 子弹一起运动
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因为角动量守恒，所以
<0
子弹与圆柱体做完全非弹性碰撞， 系统损失的动能转换为系统的热能。
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应用公式


பைடு நூலகம்
dL dt
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加速度为
若忽略滑轮的转动惯量I 由此可知转动惯量的存在将使系统的加速度变小
例11-11 开普勒第二定律的推导
在dt时间内，行星移动的距离为vdt 扫过的面积dA等于图中阴影部分面积
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行星以太阳为参考点的角动量大小为
所以
因为万有引力沿太阳-行星连线，此力产生的力矩为0，
rv
ω
角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可 用代数量来描述.
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二、刚体角动量定理
牛顿第二运动定律
F ma 或者写成动量形式
F dp dt
类比写出刚体沿转轴方向力矩和角动量的关系
I
I

I
d
dt

d（I）
dt

dL
dt
d dt
dLdt
Li
ri
m而i 言:
mivi
miri2k
对于绕固定轴oz 转动 的整个刚体而言:
L


N
miri2 I
i

z

L
vi ri
mi
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刚体角动量的方向特性
角动量是一个矢量

L I

方向的确定：右手定则