q-导数和h-导数
就像在简介提及的一样，我们要发展两类量子微积分，q-积分和h-积分。

我们从量子微分的定义开始。

定义 考虑一个任意函数f(x),它的q-微分是
D q f(x)=f(qx)-f(x)， （1.1） 它的h-微分是
D h f(x)=f(x+h)-f(x). (1.2) 注意到特别情况，d q x=(q-1)x 和d h x=h.
与通常的量子微分相比，一个要注意的区别是，两种函数的微分结果不对称。

从
d q (f(x)g(x))=f(qx)g(qx)-f(x)g(x)
=f(qx)g(qx)-f(qx)g(x)+f(qx)g(x)-f(x)g(x),
我们有
d q (f(x)g(x))=f(qx)d q g(x)+g(x)d q f(x), (1.3) 同样的，
d h (f(x)g(x))=f(x+h)d h g(x)+g(x)d h f(x). (1.4) 从这两个量子微分我们能定义相应的量子导数。

定义. 下面的两个表达式，
1)x -(q f (x)-f (qx)d x d f (x)d =f (x)D q q q q =， （1.5） h f(x )-h)f (x x d f (x)d =f (x)D h h h +=. (1.6)
分别叫做函数f(x)的q-导数和h-导数。

=f(x)x =f(x)n
注意到
dx x df x f D x f D h h q q )()(lim lim 01==→→）（
如果f(x)是可微的，分子分母为“无穷小”的某莱布尼兹公式dx x df )
(，由于其微分df(x)要求为精确值，故此函数值不确定。

对比起来，q-微分和h-微分的概念是明显的，q-导数和h-导数是普通的比例关系。

很明显，与通常的积分相比，采取q-积分或h-积分是线性算法。

换句话说，D q 和D h 有任意常数a 和b 的性质。

D q (af(x)+bg(x))=aD q f(x)+bD q g(x),
D h (af(x)+bg(x))=aD h f(x)+bD h g(x).
例如
计算x n
x f =)(的q-导数和h-导数，n 是一个正整数。

定义
x q x qx x n n n n n q q x
q 111)1()(D ---=--=
， （1.7） .2)1(121)(h x x x h x x D n n n n n n h h n n n h
---++-+=-=+ （1.8） 因为分数)1(1--q q n ）（经常出现，让我们介绍一下下面符号，
111=
[n]1n q ++=--- q n q , (1.9) 对任何正整数n ，这就叫n 的q-模拟，然后（1.7）变成 [],1D x x n n q n -= (1.10)
这类似于普通导数的x n
,当1→q 时，我们有，
[]n 11111=+++→++=- q n n ，正如我们将看到一次又一次，[]n 在q-积分和正整数n 在通常计算下扮演相同角色。

另一方面，表达式x n h D 更加复杂。

公平地说，x n
在q-积
分是一个好函数但在h-积分不是。

暂时，我们侧重于q-积分，h-积分将会在此书的最后一章节被讨论。

让我们计算结果的q-导数和f(x)和g(x)的商。

从（1.3）我们有，
()()()()()()()()()()()()x q x f x g x g qx f x q x g x f x g x f d d d q
q q q 11D -+=-= ，
因此，
D q(f(x)g(x))=f(qx)D q g(x)+g(x)D q f(x). (1.11) 由对称性，我们交换f 和g ，得到等效于（1.11）的式子，
D q(f(x)g(x))=f(x)D q g(x)+g(qx)D q f(x), (1.12) 如果我们对（1.11）变一下，
()()()
(),x f x g x f x g = 我们得到，
()()()()()(),)(x f x g x g x f x g x f qx g D D D q q q =+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
因此，
()()()()()()()()qx g x g x g x f x f x g x g x f D D q q q -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D . (1.13) 然而，如果我们用（1.12）会得到，
()()()()()()()()()qx g x g x g qx f x f qx g x g x f x g D D D q q q -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛. (1.14) 公式（1.13）和（1.14）都很有用，但在一些情况下其中一种会比另一种有用。

在得到q-微分的结果和商的方法之后，有人可能会想链式法则的量子版本，然而，不存在一个通用的链式法则，一个特例是像f(u(x))这种形式的函数的微分，其中 ()x x u u β
α==
1，q-导数和h-导数
α，β是常量，看一下链式法则的适用性，考虑到，
()()[]()[]()x qx f f f x u f x x q x D q q --⎪⎭⎫ ⎝⎛==ββββαααD
()x qx f f x x q x q x x q --∙-⎪⎭⎫ ⎝
⎛=ββββββββααααα
()()(),x qx x u qx u u u u f u f q q --∙--⎪⎭⎫ ⎝⎛=ββ
因此， ()()()()().D x u x u f q x u f D D q q ∙⎪⎭⎫ ⎝⎛
=β （1.15）
另一方面，如果当()x x x u 2
+=或者()x x u sin =，u(qx)不能用u 的简单方式表达出来，所以它不可能有一个通常的链式法则。

我们最后以讨论为什么用字母q 和h 为参数为这节课的结尾，单词q 有几个意思： 1，它是单词量子论“quantum ”的第一个字母
2，它常用来表示元素在有限域的数量
3，幂级数扩大的不稳定性
字母h 作为普朗克常数，在量子力学（微观世界的物理）它是最重要的基本物理常数，一个经典的限制像q →1或者h →0,并且通常两个量子参数通常有
e h q =的关系。