点
整 合
(3)一般地，在闭区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断 专
题
的曲线，那么函数 y＝f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，函数的最
限 时
研 考
值必在极值点或区间的端点处取得．如 T6.
集 训
题
举 题 固 法
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·
17
·
自
主
研 考 题 练
考 点
整
专
合
题
限
时
研 考
举题固法
题 限
研
y＝3x
[因为 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以
时 集
考 题
曲线在点(0,0)处的切线的斜率 k＝y′|x＝0＝3，所以所求的切线方程为
训
举 题
y＝3x.]
固
法
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·
4
·
自 2.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图
固
法
所以 m＝4，故选 D.]
返
首
页
10
·
自 主 练
考
点 整
6．已知 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处的极值为 10，则 a＋b 专
合
等于( )
题
限
A．0 或－7
研
B．－7
时 集
考 题
C．0
D．7
训
举 题 固 法
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·
11
·
自
B [因为 f′(x)＝3x2＋2ax＋b，所以 f′(1)＝3＋2a＋b＝0，①
合
(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k.
题 限
研
(3)求过某点
M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点
A(x0，f(x0))，
时 集
考 题
则切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点
M(x1，y1)代入切线方
训
举 题
程，求
x0.
固
法
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合
如函数 f(x)＝x3，f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值点．如 T5.
题 限
研
(2)极值点不是一个点，而是一个数 x0，当 x＝x0 时，函数取得极
时 集
考 题
值，在 x0 处，f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x0 处取得极值的必要不充分条
训
举 题
件．
固
法
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·
16
·
自 主 练
考
固
法 4 2，当且仅当 n＝ 2m 时，取得最小值 6＋4 2，故选 C.] 返
首
页
·
33
·
自 主 练
考
点
整
专
合
3．(求切点的坐标)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x(x
题 限
时
研 ＞0)上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________．
集
考
训
题
举 题 固 法
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·
34
·
自 主
(1,1) [∵函数 y＝ex 的导函数为 y′＝ex，
练
考
∴曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k1＝e0＝1.
点
整 合
设 P(x0，y0)(x0＞0)，
专
题
∵函数 y＝1x的导函数为 y′＝－x12，
研
限 时 集
考 题
举
∴曲线 y＝1x(x＞0)在点 P 处的切线的斜率 k2＝－x120，
主
练
考
■扣要点·查缺补漏·
点
整 合
1．导数的几何意义
专
题
(1)f′(x0)的几何意义是曲线
y＝f(x)在点
P(x0，y0)处切线的斜率．
限 时
研 考
(2)函数
y＝f(x)在点
x＝x0 处的切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－
集 训
题
举 x0)，如 T1.
题
固
法
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·
13
·
自
主 练
2．导数与函数的单调性
专
题
2n的最小值为( )
研
限 时 集
考 题
A．4 2
B．3＋2 2
训
举
题
C．6＋4 2
固
D．8 2
法
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·
32
·
自
C [设 A(s，t)，y＝x3－2x2＋2 的导数为 y′＝3x2－4x，可得切
主
练 线的斜率为 3s2－4s，切线方程为 y＝4x－6，可得 3s2－4s＝4，t＝4s
考
点 整 合
训
题
固
法
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·
23
A [由题意，得：y′＝(e－2x＋1)′＝e－2x(－2x)′
自
主 练
＝－2e－2x，
·
考 点
则在点(0,2)处的切线斜率为 k＝－2e0＝－2，
整
专
合
∴切线方程为 y＝－2x＋2.
题
限
·
研 考
联立yy＝ ＝－x，2x＋2， 得 C23，23.
时 集 训
题
举
∴与 y＝0 和 y＝x 围成三角形的面积为
时 集
考 题
＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x.故选 D.]
训
举 题 固 法
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·
22
·
自
主
练
考
2．(2011·大纲版高考)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的切线与直线
点
整 合
y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为(
)
专
题
1
1
限
A.3
B.2
研
时 集
考 题
举
2 C.3
D．1
点 整
1．[一题多解](2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若 专
合
f(x)为奇函数，则曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
题
限
A．y＝－2x
研
B．y＝－x
时 集
考 题
C．y＝2x
D．y＝x
训
举 题 固 法
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·
20
·
自
主 练
D [法一：(直接法)因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，
第二部分 讲练篇
专题六 函数、导数和不等式 第2讲 导数的简单应用
2
·
自
主
自 主 练 练
考 点
整
专
合
题
限
时
研 考
考点整合
集 训
题
举 题 固 法
返 首 页
·
3
·
自
主
练
■做小题·激活思维·
考
点 整
1．(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 专
合
________．
题
固 法
S△OBC＝12OB×32＝21×1×32＝31.]
返
首
页
24
·
自 主 练
考
点
整
专
合
3．(2016·全国卷Ⅱ)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线， 题
限
也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线，则 b＝________.
研
时 集
考
训
题
举 题 固 法
返 首 页
·
25
·
自
主 练
固
法
返 首 页
·
14
·
自 主 练
考
点
整
专
合
(3)若已知函数的单调性，则转化为不等式 f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 题
限
在单调区间上恒成立问题来求解．如 T4.
研
时 集
考
训
题
举 题 固 法
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·
15
·
自
主 练
3．导数与函数的极值、最值
考
点 整
(1)可导函数极值点的导数为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点， 专
考
点 整
所以 f(－x)＝－f(x)，
专
合
所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以 题 限
研
2(a－1)x2＝0，因为 x∈R，所以 a＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以 f′(x)
时 集
考 题
＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1，所以曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为
主
练
f(1)＝1＋a＋b＋a2＝10，②
考
点 整 合
由①②得ab＝ ＝4－，11 或ba＝＝3－，3，
专 题
限
而要在 x＝1 处取到极值，则 Δ＝4a2－12b＞0，
研
时 集
考 题
举 题
故舍去ba＝＝3－，3， 所以只有ab＝ ＝－ 4，11，
训
固
法
所以 a＋b＝－7，故选 B.]
返
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12
·
自
考
1－ln 2 [求得(ln x＋2)′＝1x，[ln(x＋1)]′＝x＋1 1.