第十二章 组合变形习 题12.1 矩形截面杆受力如图所示。

已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ，mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。

Oxyz1F 2F 1m 1mbh题12.1图解：危险点在固定端max yz z yM M W W σ=+max 6.69[]10MPa MPa σσ=<=12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为030=α，如图所示。

已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ，mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150lw =。

试校核梁的强度和刚度。

题12.2图22zmax 11cos3088y M q l q l ==⋅解：22ymax 11sin 3088z M q l q l ==⋅22ymaxzmax 2211cos30sin 308866z yq l q l M M bh bh W W σ⋅⋅=+=+26cos30sin 30()8ql bh h b=+32616210422 ()8120160100.1600.120-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ []6 11.971012.0,Pa MPa σ=⨯==强度安全 44z 35512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ⨯==4435512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ⨯==22maxcos30sin 30)()W ==+ =[]40.0202150m w m =<=刚度安全。

12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ，30=ϕ，如图所示。

檩条跨长m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。

14 kN/mq =题12.3图解：cos ,sin y z q q q q ϕϕ==22max max,88y z z y q l q l M M ==max max max[]y z z yM M W W σσ=+≤对工字钢，zyW W 大约在6～10之间，现设为8，由上式得 max 6max max16010/8y z z z M M Pa W W σ=+≤⨯330.85110z W m -≥⨯查40C 号钢，有，331190,99.6z y W cm W cm ==验算max maxmax 6616111901099.610y z M M MPa σ--=+=⨯⨯ 最大应力略大于许用应力，但不超过许用应力的5%，工程上允许，故可选40C 号钢12.4 图示构架的立柱AB 用25号工字钢制成，已知kN 20=F ，[]M Pa 160=σ，试校核立柱的强度。

F45BCCD题12.4图解： 由图可知,,BC CD A F F F F F ===由受力图可知D 截面为危险截面，其上的轴力和弯矩分别为20,360N F F KN M F KN ====max zF MA W σ=+ 25号钢3402z W cm =，248.541A cm =33max4620106010153.37[]48.5411040210MPa σσ--⨯⨯=+=≤⨯⨯12.5 图示一混凝土挡水墙，浇筑于牢固的基础上。

墙高为m 2，墙厚为m 5.0，试求：（1）当水位达到墙顶时，墙底处的最大拉应力和最大压应力（混凝土重力密度3kN/m 24=γ）。

（2）如果要求混凝土中不出现拉应力，试求最大允许水深h 为多少？题12.5图解：以单位宽度的水坝计算水压30 1.0109.8219.6/q gh kN m ρ==⨯⨯⨯=混凝土对墙底的压力3241020.524/F ghb kN m ρ==⨯⨯⨯=墙坝的弯曲截面系数230.0836bh W m ==墙坝的截面面积21A bh m ==墙底处的最大拉应力0,max1230.1328t h q h F MPa W A σ⋅⋅=-= 最大压应力0,max1230.1908c h q h F MPa W A σ⋅⋅=+= 如果混凝土中不出现拉应力，即0,max1230t h q h F W Aσ⋅⋅=-=0123h q h F W bh ⋅⋅= 1.063h m =12.6图示一楼梯木斜梁的长度为m 4=l ，截面为m 1.0m 2.0⨯的矩形，受均布载荷作用，m /kN 2=q 。

试作梁的轴力图和弯矩图，并求横截面上的最大拉应力和最大压应力。

题12.6图--4kNF N-3.464kN-F +M+3.464kN·mF F 30°F BA Bqy cos30 2B A q lF F ⋅==解： 3242 3.4642kN ==1sin 302442Ax F q l kN =⋅=⨯⨯=()22N lF kN =杆为弯压组合变形，最大压应力和最大拉应力分别发生在跨中截面上边缘和下边缘处：max ,max()2N c l F M W Aσ=+ 3323.46410210 5.290.10.20.10.26MPa ⨯⨯=+=⨯⨯ ,max 5.190.1 5.09t MPa MPa MPa σ=-=11.7 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18号工字钢，其长度为m 6.2=l 。

试求当载荷kN 25=F 作用在AB 的中点D 处时，杆内的最大正应力。

设工字钢的自重可略去不计。

题12.7图解： 取AB 杆为隔离体， 由∑=0AM ，即 030sin 2=⋅︒+⋅-l F l F B ∴ FB =F由B 点平衡可知 F F F B NAB 2330cos -=︒-= 杆AB 在D 点的弯矩 Fl W W 41max ==故杆AB 在D 点截面有最大压应力，查18号工字钢，得A =30.6cm 2，Wz=185cm 3∴ 6343max 1018546.21025106.30210253423--⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=+=z z NAB W Fl A F W M A F σ =94.9 MPa12.8 若图示边长为a 的正方形截面短柱，受到轴向压力F 作用，若在中间开一切槽，其面积为原面积的一半，试问最大压应力是不开槽的几倍？1-1截面题12.8图切槽前，柱的变形为轴向压缩，柱内各点压应力为 ()2242a F a F==σ切槽后，柱的切槽部分为偏心压缩，其最大压应力为23max22121222a Fa a a Fa a a F =⨯⨯⨯+⨯='σ ∴ 8max='σσ，即切槽后柱内的最大压应力是原来的8倍12.9 承受偏心拉力的矩形截面杆如图所示。

实验测得杆两侧的纵向应变为1ε和2ε，试证明：62121he ⋅+-=εεεε。

题12.9图解：如图偏心受拉构件11E σε=22E σε=126F Fe bh bh σ=+ 226F Fe bh bhσ=-1212212()FeE bh σσεε-==- 12122()FE bhσσεε+==+12126e h εεεε-=+ 62121he ⋅+-=εεεε12.10 图示短柱受载荷如图，试求固定端截面上角点A 、B 、C 、D 的正应力，并确定其中性轴的位置。

题12.10图解：这是一个偏心压缩问题，截面ABCD 上的内分量如图所示。

125N F F kN ==310.025(25100.025)625y M F N m N m =⨯=⨯⨯⋅=⋅320.6(5100.6)30000z M F N m N m =⨯=⨯⨯⋅=⋅ 25Sy F F kN ==A 、B 、C 、D 各点的正应力分别为y N zA y zM F M A W W σ=-++3222510662563000() 0.150.10.150.10.10.15Pa ⨯⨯⨯=-++⨯⨯⨯8.83MPa =y N zB y z M F M A W W σ=--+3222510662563000() 0.150.10.150.10.10.15Pa ⨯⨯⨯=--+⨯⨯⨯3.83MPa =y N zC y z M F M A W W σ=---3222510662563000() 0.150.10.150.10.10.15Pa ⨯⨯⨯=---⨯⨯⨯12.2MPa =-y N z D y zM F MA W W σ=-+-3222510662563000() 0.150.10.150.10.10.15Pa ⨯⨯⨯=-+-⨯⨯⨯ 7.17MPa =-设0y 、0z 为中性轴上任意一点的坐标，则在该轴上的任一点的应力均为零，即0000(,)0y N z y zM z F M y y z A I I σ=-++= 3003325106251230001200.10.150.150.10.10.15z y ⨯⨯⨯-++=⨯⨯⨯ 由上式得中性轴方程 0029.963.910z y +-=若令00z =，得 115.663.9y a m mm == 若令00y =，得 133.429.9z a m mm ==y a 、 z a 分别是中性轴与y 、z 轴的截距。

12.11 图示电动机的功率为kW 9，转速715 r /min ，皮带轮直径mm 250=D ，主轴外伸部分长mm 120=l ，主轴直径mm 40=d ，若[]M Pa 60=σ，试用第三强度理论校核轴的强度。

题12.11图解：这是一个弯扭组合变形问题。

显然危险截面在主轴根部。

该处的内力分量分别为99549(9549).715P T N m n ==⨯扭矩 根据平衡条件 222D DF F T ⨯-⨯=得 221209600.25T F N N D ⨯===弯矩 3(39600.12)M Fl N m ==⨯⨯⋅ 应用第三强度理论 2222max 33120346(4010)32M T Pa W σπ-++==⨯⨯ []58.360MPa MPa σ=<=最大工作应力小于许用应力，满足强度要求，故安全。

12.12铁道路标圆信号板，装在外径mm 60=D 的空心圆柱上，所受的最大风载2m /kN 2=p ，[]M Pa 60=σ。

试按第三强度理论选定空心柱的厚度。

题12.12图解：忽略风载对空心柱的分布压力，只计风载对信号板的压力，则信号板受风力 2230.50.51039344F p N ππ⨯⨯⨯===空心柱固定端处为危险截面，其弯矩：0.8314M F N =⨯=扭矩：0.6236T F N =⨯=[]3r wσσ=≤34{}1()32D d D σπ≤⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[]443(1d D D πσ≤-6010d D -≤=⨯354.71054.7m mm -=⨯=6054.7 2.6522D d mm δ--≥== 12.13 在图示的轴 AB 上装有两个轮子，作用在轮子上的力kN 3=F 和Q ，设此二力处于平衡状态，轴的许用应力[]M Pa 60=σ，试用最大切应力理论选择轴的直径d 。