第三章习题 3-11、对函数x y sin ln =在区间]65,6[ππ上验证罗尔定理解答：（1、区间]65,6[ππ上连续 ；（2）函数x y sin ln =在区间)65,6(ππ上可导；（3）、2ln 6sinln )6(-==ππf ，2ln 65sin ln )65(-==ππf所以满足Rolle 定理的条件。

且由0sin cos =='x x y 解得)65,6(4πππξ∈=2、证明：函数02=++=r qx px y 在任意区间上应用lagrange 中值定理求得的点ξ总是该区间的中点证明：（1）02=++=r qx px y 在任意],[b a 上连续 ；02=++=r qx px y 在),(b a 上可导；所以满足lagrange 定理的条件。

且由02=+='q px y 解得),(2b a ba ∈+=ξ 所以求得的点ξ总是该区间的中点3、证明：方程033=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根证明：用反证法，设方程033=+-c x x 在区间]1,0[内有两个不同的实数根21,x x （1）、函数c x x x f +-=3)(3在],[2x x x 连续 ；（2）、函数c x x x f +-=3)(3在),(2x x x 可导；（3）、0)()(21==x f x f ，所以满足Rolle 定理的条件，于是存在]1,0[),(21⊂=∈x x ξ。

使0)(='ξf 但是由033)(2=-='x x f 解得根为),(121x x x ∉±=。

矛盾 所以方程033=+-c x x 在区间]1,0[内不可能有两个不同的实数根4、若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<21，证明：在),(31x x 内至少存在一点ξ，使得0)(=''ξf:证明：由于函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中b x x x a <<<<21，所以函数)(x f 分别在区间],[21x x 与],[32x x 上满足Rolle 定理的条件，于是存在),(21x x ∈λ。

使0)(='λf ，也存在),(32x x ∈ς。

使0)(='ςf于是函数)(x f '在区间],[ςλ上满足Rolle 定理，于是存在),(),(31x x ⊂∈ςλξ。

使0)(=''ξf5、已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，不求导数，讨论方程0)(='x f 的实数根，并指出它的范围解答：)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 是初等函数，所以连续可导，且、0)4()3()2()1(====f f f f ，于是分别在区间]2,1[、]3,2[、]4,3[上满足Rolle 定理，于是存在)2,1(1∈x 使0)(1='x f ，)3,2(2∈x 使0)(2='x f ，)4,3(3∈x 使0)(3='x f 6、证明：在]1,1[-上恒成立2arccos arcsin π=+x x:证明：设辅助函数x x x f arccos arcsin )(+=，由于)(x f 是初等函数，01111)(22=---='xxx f ，所以由lagrange 中值定理的推论可知C x x x f =+=arccos arcsin )(取0=x 有C f =+=0arccos 0arcsin )0(，得2π=C2arccos arcsin π=+x x7、下列函数在指定区间上是否满足Rolle 定理的?条件若满足，则在该区间内求ξ，使0)(='ξf（1）、31)(x x f -=，]1,1[- （2）、2)2(1)(+=x x f ，]1,3[- （3）、x x f cos )(=，]45,43[ππ （4）、3)1()(-=x x f ，]2,0[（5）、⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(x x xx x f ，]2,2[ππ-8、应用lagrange 中值定理证明不等式（1）、y x y x -≤-arctan arctan证明：设辅助函数t t arctan )(=ϕ，对该函数在以y x ,为端点的闭区间应用lagrange 中值定理有 )(11arctan arctan 2y x y x -+=-ξ于是 y x y x y x -≤-+=-211arctan arctan ξ，其中ξ介y x ,于之间。

（2）、)0(1≠+>x x e x证明：设辅助函数te t =)(ϕ，对该函数在以x ,0为端点的闭区间应用lagrange 中值定理有)0(0-=-x e e e x ξ，从而)0(1≠>-x x e x ，就是)0(1≠+>x x e x ，其中ξ介x ,0于之间。

（3）、)()(11y x nx y x y x nyn n n n -<-<--- )0,1(>>>y x n证明：设辅助函数nt t =)(ϕ，对该函数在],[x y 应用lagrange 中值定理有1-=--n nn n yx y x ξ，，其中ξ介x y ,于之间。

注意到0,1>>>y x n ，所以111---<<n n n nx n ny ξ所以11--<--<n n n n nx yx y x ny，故)()(11y x nx y x y x ny n n n n -<-<---（4）、)0()1ln(1><+<+x x x xx证明：先证明)0()1ln(><+x x x ，再证明)1ln(1x xx+<+ 设辅助函数t t t -+=)1ln()(ϕ，对该函数在],0[x 应用lagrange 中值定理有x x x <-+=+-+)0(11)01ln()1ln(ξ，其中ξ介x ,0于之间。

即)0()1ln(><+x x x 成立； (1)再设辅助函数)1ln()1()(t t t ++=ϕ，对该函数在],0[x 应用lagrange 中值定理有)0](1)1[ln()01ln()10()1ln()1(-++=++-++x x x ξ，其中ξ介x ,0于之间。

于是x x x ]1)1[ln()1ln()1(++=++ξ，而0>x所以11)1ln()1ln()1(>++=++ξx x x ，从而x xx +>+1)1ln(……（2） 综合有 )0()1ln(1><+<+x x x xx注意：该不等式很有用，当取n x 1=就是nn n 1)11ln(11<+<+9、下列函数在指定的区间上是否满足cauchy 中值定理？若满足，则写出结论并求出ξ （1）、2)(x x f =，3)(x x g =， ]1,1[- （2）、x x f sin )(=，x x g cos )(=， ]2,0[π（3）、2)(x x f =，x x g =)(， ]4,1[解答：（1）、由于23)(x x g ='，当0=x 0)0(='g ，不满足cauchy 中值定理（2）、满足，存在)2,0(πξ∈使ξξππsin cos 0cos 2cossin 2sin-=--即1sin cos =ξξ解得4πξ= （3）、满足，存在)4,1(∈ξ使ξξ21212116=--即41523=ξ解得32)415(=ξ 10、求下列未定式的极限（1）、xx x ln )cos 1ln(lim 0-+→1cos 1sin lim 0xx x x ⋅-=+→22lim 220==+→x x x（2）、x x e e xx x sin lim sin 0--→x xe e x x x cos 1cos lim sin 0--=→x xe xe e x x x x sin cos sin lim sin 2sin 0-+=→ xxe xe x xe x xe e xx x x x x cos cos sin cos 2cos sin cos lim sin 3sin sin sin 0-+++=→ 111011=-++=（3）、21cos 21lim 2ππ--+→x x x 101212cos 212sin 2lim 2-=+⋅-=+-=→x x x π（4）、2)1ln(limx e x x ++∞→x e e x x x 211lim ⋅+=+∞→x x x x xe e e ++=+∞→1lim 210111lim 21=++=+∞→x e xx （5）、1216)(arcsin lim22221--→x x x π22114arcsin 2lim x x x x -=→421121442lim 21ππ=-⋅⋅=→x （6）、30sin limx x x x -→203cos 1lim xx x -=→616sin lim 0==→x x x （7）、)1ln(cos cos lim 20x x e x +-→βα2012sin sin lim x x x x x ++-=→ββαα222220)1(22)1(2cos cos lim x xx x xx x +⋅-++-=→ββαα 222αβ-=（8）、)1(1lim 0---→x x x e x x e x x x x xe e e +--=→11lim 0x x x x xe e e +=→2lim 02121lim 0=+=→x x （9）、)(lim 2x x x x +-+∞→xx x x x ++-=+∞→2lim211111lim-=++-=+∞→xx（10）、)ln 11(lim 1xx x x --→x x x x x x ln )1(1ln lim1-+-=→x x x x x 1ln 11ln lim 1-+-+=→21111lim 21=+=→xx xx （11）、)tan (sec lim 2x x x -→πx x x cos sin 1lim2-=→π0sin cos lim 2=--=→x xx π（12）、2tan)1(lim 1xx x π-→=⋅-=→2sin 2cos 1lim1x x x x ππ2cos 1lim 1x x x π-=→πππ22sin21lim 1-=⋅-=→x x（13）、x x x ln tan lim 0+→x x x x cos ln sin lim 0+→=x x x csc ln lim 0+→=xx x x cot csc 1lim 0-=+→ =-=+→x x xx cos sin lim 200sin lim 0=-+→x x（14）、x x x x +∞→1ln lim x x x x 1ln )1ln(lim -+=∞→21111lim xx x x --+=∞→x x x x +=∞→22lim 1122lim =+=∞→x x x （15）、x x xtan 2)1(lim -→ππ)1ln(tan lim 22lim -→→=x x x x e πππ而)1ln(tan lim 2-→xx x ππxxx x cos ln )ln(lim2--=→ππ]11[sin 1lim2xx x x ---⋅-=→ππππ4]22[11=--⋅-=x 所以xx xtan 2)1(lim -→ππππππ4)1ln(tan lim 22lim e ex x x x ==-→→（16）、xx x ln 1)1(lim _--→)1ln(ln lim ln 11_)1(lim x x x x x e x -→→-=-)1ln(ln lim _1x x x --→x x x ln 1)1ln(lim _1-=-→xx x x 21ln 111lim _---=-→x x x -=-→1ln lim 21_0ln 2lim _1=-⋅=-→x x x所以1)1(lim 0)1ln(ln lim ln 11_===--→→-e e x x x xx x（17）、2)1(cos lim x x x∞→xx x x x e x1cos ln lim 22)1(cos lim ∞→=∞→ 而)1ln(cos lim 2xx x ∞→211cosln lim x x x ∞→==-=∞→x x x x x 1cos 21sin1lim 322121lim 33-=-∞→x x x 所以ee x xx x x x 1)1(cos lim 1cos ln lim 22==∞→∞→ （18）、xxx x e 1)(lim ++∞→)ln(1limlim x x e x x x e++∞→+∞→=而)ln(1lim x e xxx ++∞→x x x e x e +=+∞→limx x x e e +=+∞→1lim 1lim ==+∞→x x x e e 所以xxx x e 1)(lim ++∞→e ex x e x xx ==++∞→+∞→)ln(1limlim(B)证明lagrange 中值定理证明和cauchy 中值定理 1、设)(x f 满足： （1）、在],[b a 上连续 （2）、在),(b a 上可导 则存在),(b a ∈ξ，使ab a f b f f --=')()()(ξ证明：构造辅助函数)()()()()()(a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ由题设有)(x ϕ（1）、在],[b a 上连续，（2）、在),(b a 上可导，并且0)()()()()()(=-----=a a a b a f b f a f a f a ϕ0)()()()()()(=-----=a b ab a f b f a f b f b ϕ，所以)(x ϕ满足Rolle 中值定理存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξϕ，注意到ab a f b f x f x ---'=')()()()(ϕ，所以0)(='ξϕ就是存在),(b a ∈ξ，使ab a f b f f --=')()()(ξ2、设)(x f 、)(x g 满足： （1）、在],[b a 上连续（2）、在),(b a 上可导，且0)(≠'x g则存在),(b a ∈ξ，使)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--证明：构造辅助函数)]()([)()()()()()()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F -----=由题设有)(x F （1）、在],[b a 上连续，（2）、在),(b a 上可导，并且0)]()([)()()()()()()(=-----=a g a g a g b g a f b f a f a f a F0)]()([)()()()()()()(=-----=a g b g a g b g a f b f a f b f b F ，所以)(x F 满足Rolle 中值定理存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξF ，注意到)()()()()()()(x g a g b g a f b f x f x F '---'='，所以0)(=ξF 就是存在),(b a ∈ξ，使)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--习题3-2(A)1-2在书上3、求下列函数的单调区间和极值 （1）、x x x f ln 2)(2-= 解：014)(=-='x x x f 解得21=x ，当21>x 0)(>'x f 列表如下：（2）、353151)(x x x f -=解：0)1()(22=-='x x x f 解得1,0,1221==-=x x x ，当1-<x 或1>x 时0)(>'x f ，单调增加，当11<<-x 时0)(<'x f ，单调减少 列表如下：（3）、⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=0ln 01)(x x xx e x f x解：⎪⎩⎪⎨⎧>-<='0ln 1ln 0)(2x xx x e x f x)0(f '不存在令0)(='x f 解得e x =，当0<x 或e x > 时0)(>'x f ，单调增加，当e x <<0时0)(<'x f ，单调减少 列表如下：4、求下列函数的最大值和最小值 （1）、36232)(23+--=x x x x f ]4,4[- 解：0)1)(3(2642)(2=+-=--='x x x x x f ，解得3,121=-=x x计算3247)4(-=-f ， 316)1(=-f ，3110)4(-=f ，15)3(-=f 所以316)1()(max =-=f x f 3247)4()(min -=-=f x f（2）、23)(2+-=x x x f ]10,10[-解：解方程0232=+-x x 得2,1==x x 于是得到函数的定义式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-=<<-+-=<+-=22320212310123)(222x x x x x x x x x x x x f只须求当21<<x 时的极值032)(=+-='x x f ，解得231=x ，在其他两段函数都是单调增加的计算132)10(=-f ， 0)2()1(==f f ，414)23(=f ，72)10(=f所以132)10()(max =-=f x f 0)2()1()(min ===f f x f （3）、32)3()(-=x x x f ]4,2[-解：32323131)3(31)3(32)(---+-='x x x x x f 32)3(3)3(2-+-=x x x x 0)3(3)2(232=--=x x x解得2=x计算320)2(-=-f ， 34)2(-=f ，316)4(=f ， 所以316)4()(max ==f x f 320)2()(min -=-=f x f 5、证明方程1+=x e x只有0=x 一个实数根证明：设1)(--=x e x f x，显然有0)0(=f ，如果还有一个实数根a ，则0)(=a f 于是1)(--=x e x f x在区间],0[a 或]0,[a 上满足Rolle 定理的条件，于是存在ξ介于a,0之间，使0)(='ξf 。