f (x) A 则称函数 f 当 x 时以Ａ为极限。记作
lim f (x) A 或 f (x) A(x )
x
.
" M"定义 lim f ( x) A x
0,M 0,使当x M时,恒有 f (x) A .
几点注记
(1) x M表示比Ｍ大的所有实数, 而不仅仅是某些
正整数n。lim f (x) A意味着: A的任意小邻域内,含 x 有f 在 的某个邻域内的全部函数值。
2
x tan tan
2
2
证
0 (限制 ),
2
取M
tan
2
0,
则当 x M时恒有
arctan
x ( )
2
,
故 lim arctanx .
x
2
二、自变量趋向有限值时函数的极限
讨论x x0时, f (x)值变化趋势 如: f (x) 2x 1 5, x 2
2.与任意给定的正数有关.
2.几何解释:
当x在x0的去心邻 域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
y
A
A
A
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
y f (x)
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后,就有无穷多个.
3 用" "定义证明lim f (x) A x x0 要证明lim f (x) A,关键对 0, x x0 解关于 x x0 的不等式 f (x) A , 找 . ( f (x) A B x x0 k )
2 sin x x0 2
sin x x0 2
x x0
任给 0, 存在 , 当0 x x0 时,
cosx cosx0 x x0 成立,
lim
xx0
c
os
x
cos
x0
.
x2 1 2
例5 证明
lim
x1
2x2
x
1
3
证明:当x 1时
x2 1 2 x 1 2 x 1 2x2 x 1 3 2x 1 3 32x 1
x
x
x
3.几何解释: lim f ( x) A x
A
M
y sin x x
M
当x M或x M时, 函数 y f (x)图形完全落在以
直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
证明 lim f (x) A x
关键对 0,解不等式 f (x) A
找x的范围, 进而确定M ;
(适当放大 f (x) A
第 三章 函数极限 §1 函数极限概念
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
1 x 时, f (x)的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
y sin x x
y sin x x
x , sin x 0 x
观察函数 1 当 x 时的变化趋势. x
x , 1 0 x
定义１设 f 为定义在 [a, )上的函数，Ａ为定数。 若对任给的 0 ,存在正数Ｍ ( a) ,使得当 x M 时有
(2)
lim f (x) A的邻域描述： ,U (),
x
当 x U ()
时， f (x) U (A; ).
(3)
lim f (x) A 的几何意义：对 ，就有以Ａ为
x
中心线，以 2 为宽的带形区域; 在直线 x M
的右方，曲线 y f (x) 全部落在这个带形区域内。
y
A A
A
x
2.另两种情形:
0
x
x 0
表示x
x 的过程. 0
x0
x0
x0 x
点x0 的去心 邻域, 体现x 接近x0 程度.
1 x x 0(x x 0) 时函数极限的 定义
定义２ 设函数 f (x)在点x0 的某个空心邻域
U0 x0 ; 内有定义，Ａ为定数，若对
0, ( ) 0 ，当 0 | x x0 | 时，有
f (x) x2 4 (x 2) x 2 4, x 2 x2
f (x)
sgn x
1 0
x 0, 1, x 0
x 0;
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x2 x02
1 x2 1 x02
ห้องสมุดไป่ตู้
x x0 x x0 2 x x0 ,
| f (x) A |
则称函数 f 当 x 趋于x0 时以Ａ为极限 （或称Ａ为
x x 0 时 f (x) 的极限），记作:
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关;
若限制 x于0 x 1 1
则2x 1 2(x 1) 3 3 2 x 1 1
于是 0, min{3,1.},则当0 x 1 时， 有
2
x x2
2 1 x
1
2 3
1 3
x 1
x2 1 2
lim x
2x2
x
1
3
例6
证明
:当
|
x0
|
1时,
lim
x x0
1 x2
1 x02 .
证 f ( x) A 1 x2 1 x02
例3 证明 lim x2 4 4. x2 x 2
证 当x 2时
f (x) 4 x2 4 4 x 2
x2
任给 0, 存在 ,
当0 x 2 时, 就有 x2 4 4 ,
x2
x2 4
lim
2.
x1 x 2
例4
证明
lim
xx0
c
os
x
cos
x0
.
证
cosx cosx0
10. x 情形 : lim f ( x) A x 0,M 0,使当x M时,恒有 f (x) A .
20. x 情形 :
lim f ( x) A x
0, M 0, 使当| x | M时, 恒有 f (x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
B xk
)
例1 证明lim 1 0. x x
证 1 0 1 1
x
xx
0,
取
M
1
,
则当 x M时恒有
1 0 , 故 lim 1 0.
x
x x
例2
证明 lim arctanx .
x
2
分析 由于 | arctan x ( ) |
2
2
arctan x
2
左半部分成立，只考察右半部分x 的范围， ，则有：