Ⅰ-1
静矩和形心
二、形心
3、组合图形形心坐标
由n 个规则形状(矩形、圆形、三角形)组成的图形
S x A y S A x y
第i 个组成部分对 x 轴、y 轴的静矩
S xi Ai yi S Ai xi yi
x y
PAG 3
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Ⅰ-1
静矩和形心
二、形心
2、对称图形形心坐标位置 ⑴ 有一个对称轴
y C x
⑵ 有两个对称轴
y
形心C 位 于该对称 轴上
C
x
形心C 为 两对称轴 交点
⑶ 对某点对称（中心对称）
y C x
形心C 位于对称中心
PAG 4
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A A
2
2
PAG 9
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Ⅰ-2
惯性矩和惯性半径
三、简单截面的惯性矩
1、矩形
h
h
b dy
Iz

A
y dA
2

2 h 2
y bdy
2
b 3
y
3
2 h 2

1 12
bh
3
y

h
3
C
z
b
b
Iy
z dA
A
2

2 b 2
z hdz
2
4 4
4、其它
工字钢、槽钢等的Wz 也可从型钢表中查得
PAG 12
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Ⅰ-3
惯性积
y x dA ρ O
惯性积：面积与其到两轴距离之积。
I xy xydA
A
量纲:长度4
y x
惯性积可能为正，可能为负， 也可能为零。
坐标系只要有一个坐标轴为图形的对称轴，则图形 对该坐标系的惯性积等于零。
例I-1 试确定如下图形的形心。 解:⑴ 用正面积法求解
x xi Ai A
x1 A1 x2 A2 A1 A2
C2

( 35) 10 110 10 110 80 10 yi Ai A
C2（-35,60 ）
20.3
y

A1 A2

60 10 110 10 110 80 10

5 ( 70 110) 80 120 70 110
yi Ai A y1 A1 y2 A2 A1 A2
20.3
y

80
20.3

5 ( 70 110) 80 120 70 110
由两部分组成的组合图形,其形心在两子图形心连线上。
PAG 7
惯性半径是对某一坐标轴定义的,其量纲为长度、 数值恒为正。
PAG 8
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Ⅰ-2
惯性矩和惯性半径
二、极惯性矩
面积对极点的二次矩。
Ip
y x dA

A
dA
2 2 2
( x y )dA
A
量纲:长度4
O
Iy Ix
ρ
y x

x dA y dA
10
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Ⅰ-2
惯性矩和惯性半径
一、惯性矩 （二次矩）
面积与它到轴的距离平方之积。
I x A y dA 2 I x A dA y
2
y x dA
量纲:长度4
O
ix Ix A ， iy Iy A
y x
平面图形的惯性矩恒为正。 图形对x轴和y轴的惯性半径
S x dS x ydA
A A
y
量纲:长度3
O
x dA C x y y x
S y dS y xdA
A A
平面图形的静矩是对某一坐标轴定义的，同一图形 对不同坐标轴的静矩不同；静矩可能为正，可能为负， 也可能为零。
PAG 2
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三、简单截面的惯性矩
3、圆环
D
Ip
dA
2
π 32
(D d )
4
4
4
d
πD (1 )
4
z
Iz Iy
π 64
(D d )
4
4
64
y
1 64 1 64
d D
或
I z I y I z大 I z小
1 64
πD
4
πd
4

D (1 )
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附录I 截面的几何性质
1
静矩和形心
2 3
惯性矩和惯性半径
惯性积
4 5
平行移轴公式
转轴公式 主惯性轴
PAG 1
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Ⅰ-1
静矩和形心
一、静矩
面积与它到轴的距离之积叫静矩，也叫一次矩。
dS x dA y; dS y dA x
h 3
x
3
2 b 2

1 12hby Nhomakorabeaz
dz
PAG 10
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Ⅰ-2
惯性矩和惯性半径
三、简单截面的惯性矩
2、圆形
z ρ cos θ ; y ρ sin θ ; dA ( ρ dθ ) dρ
Iz

D
ρd θ
dρ
dA z

y dA
2
D 2
n
S x Ai yi i 1 n S Ai xi y i 1
n
A x
i i 1
i
组合图形 形心坐标
A
n
A y
i i 1
i
A
正 负 面 积 法
PAG 5
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Ⅰ-1
静矩和形心
10 y C1（0,0） 120
34.7
10
y1 A1 y2 A2
C1 80
x
PAG 6
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Ⅰ-1
静矩和形心
10 y C1（0,0） C2（5,5） 120 C2 C1 x
例I-1 试确定如下图形的形心。
⑵ 用负面积法求解
x xi Ai A x1 A1 x2 A2 A1 A2
2

0
0
( sin ) dd
2 2
D 2

πD
4
y
πD
4
64
Iy
z dA
2

0
4
0
( cos ) dd
2
64
或
Ip
dA
2
πD
32
Iz Iy
πD
4
64
PAG 11
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Ⅰ-2
惯性矩和惯性半径
Ⅰ-1
静矩和形心
二、形心
1、形心坐标公式 均质等厚板的形心与重心重合
xdA x
A
y
Sy A
A
x dA C x y y O x
y

ydA A
A

Sx A
已知形心坐标和截面面积
S x A y; S y A x
若截面对某轴静矩为零该轴必过截面形心；截面对 过其形心的轴之静矩为零。