dI y1
d

Iy Iz
sin 2 2I yz cos 2
I z1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2
dIz1 d

Iy Iz
sin 2 2I yz cos 2
当＝0时，
dI y1
dIz1
0
d ＝0 d ＝0
Iz A 10
例：求图示矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性半径。
z
dz
z
C
y
h
b
I y z2 dA
A
h
2 -h
bz2dz
2

bh3 12
iy
Iy A
bh3 12bh
h 12
同理：
Iz

b3h 12
iz
Iz A
b3h 12bh
b 12
11
二、极惯性矩： z
y
dA
§Ⅰ-2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩和惯性半径：
z
对 y 轴的惯性矩 I y z2 dA
A
y
dA
对 z 轴的惯性矩 Iz y2 dA
A
大小：正。 z
量纲：[长度]4
O
y
Iy

A

i
2 y
对 y 轴的惯性半径 i y
Iy A
I z A iz2
对 z 轴的惯性半径 iz
则截面图形对其对称轴的静矩恒为0。
8
三、组合截面图形的静矩和形心
n
z
S y Ai zi i 1
n
Sz Ai yi i 1
n
yc
Sz A

Ai yi
i 1 n
Ai
i 1
n
zc
Sy A

Ai zi
i 1 n
Ai
i 1
10
[例Ⅰ-1] 试确定左图的形心。
A
大小：正，负，0。
量纲：[长度]3
7
二、截面图形的形心
截面图形的形心 = 几何形状相同的均质薄板重心
z
yc
C
yc


A
y dA A

Sz A
zc
zc

z dA
A
A

Sy A
O
y
S y A zc Sz A yc
结论：若Sy=0 zc=0 y 轴通过形心，反之亦成立。
若Sz=0 yc=0 z 轴通过形心，反之亦成立。
主惯性矩：I y0
I z0

Iy
Iz 2


I
y
2
Iz
2

I
2 yz
25
I y0z0

Iy
2
Iz
s in 2 0

I yz
cos 20

0

tan
2 0


2I yz Iy Iz
I
y1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2

y
Izc 2bSzc b2 A
I zc b2 A 16
z
y zc
b
y1
dA
C
O
z1 az
Iz Izc b2 A
同理： I y I yc a2 A
yc
I yz I yzc abA
y
在所有互相平行的轴中，截面图形对形心轴的惯性矩 最小。
17
[例Ⅰ-2] 求图示带圆孔的圆形截面对 y 轴和 z 轴的惯
z
100
解：(1)选参考系 y' z ，确定形心 C 的位置： n
① Cy
zc
Sy' A

Ai zi
i 1 n
Ai
y′
i 1
yc 0
②
20
20 100 80 20 140 0 33.3mm 20 100 20 140
160 140
(2)计算Iy
I y I y1 I y2

5 d 4
64 18
[例Ⅰ-3] 求图示圆对其切线AB的惯性矩。
z
d O
A
解：建立形心坐标如图,求图 形对形心轴的惯性矩。
Ip

d4
32
Iy Iz
2Iy
y
Iy

Iz

d4
64
B
I AB

Iy


d 2
2


A

d4
64
d4
16

5 d 4
64
19
[例Ⅰ-4] 求图示截面图形对水平形心轴 y 的惯性矩。
I yc0

I
zc0

I yc
2
I zc


I
yc
2
I zc
2

I
2 yczc
28
[例Ⅰ-7] 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形 的形心主轴。(b=1.5d)
z
解 ： 建立参考坐标系yOz：
d zC O
C
b
求形心位置：
2d
y1 y
yC

yC

弯曲构件：
My , w M
Iz
EI z
3
4
5
软土地区的新型无碴轨道系统：
钢轨嵌入式轨道结构的横截面——梯形箱型梁， 结构刚度很大，可以减少不均匀沉降和振动。
6
§Ⅰ-1 静矩和形心
一、静矩
z y
O
dA
z y
对 y 轴的静矩：
S y z dA
A
对 z 轴的静矩： Sz y dA
857.8
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
22
§Ⅰ-4 惯性矩、惯性积的转轴公式
一、转轴公式 z1 z
y
dA
y1

z1
z

I y z2 dA Iz y2 dA
A
A
α逆时针转为正。
y1
I y1 z12 dA
A
Iz1 y12 dA
A
I yz yz dA
A
y zc
b
y1
Izc y12 dA I yc z12 dA
A
A
I yczc y1z1 dA
dA
C
z1 a z yc
A
Iz A y2dA A(b y1)2dA
A( y12 2by1 b2 )dA
O
zc为形心轴， Szc Ayc 0
y z0
z1
解：
Iz

4I z1


a 2

z0
2
A

a z 4 779 .53 150 4.312 31.502
4 (779 .53 668648 .1)
a
2677710 .52 cm4
单平个衡形项心惯惯性性矩矩
668648.1 779.53
zc

A1z1 A2 z2 A1 A2
120 10
C2
C yc , zc
C1
80
y

10 80 5 10 110 10 80 10 110
65

39.74
mm
yc

A1 y1 A2 y2 A1 A2
10 80 40 10 110 5 19.79 4 mm 10 80 10 110
I z1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2
转轴公式
I y1z1

Iy
2
Iz
sin 2

I yzcos2
I y1 I z1 I y I z 24
I
y1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
cos2

I
yz
sin 2
I z1

I
y
2
Iz

I
y
2
Iz
[ 1 100 203 20 100 (80 33.3)2 ] 12
( 1 20 1403 20 140 33.32 ) 12
20
1210.7 104 mm4 1210.7cm4
[例Ⅰ-5] 计算图示箱式截面对水平形心轴z的惯性矩Iz
。
500
z’ 解：(1)选参考系 yz 确
dA dA yy
zz
O
z 轴为对称轴：I yz yz dA 0
A
y 图形对任一包含对称轴在内的一
y 对正交坐标轴的惯性矩为0。
n
组合图形的惯性积 I yz I yzi i 1
惯性矩是对一根轴而言的，惯性积是对一对轴而言的，
极惯性矩是对一点而言的。