《条件概率与独立事件、二项分布》学习指导
一．重、难点释疑及实例剖 1．重、难点释疑
（1）了解条件概率，并掌握条件概率的公式P （A|B ）＝
)
()(B P AB P ，并理解条件概率的
性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P （A|B ）≤1；
（2）了解两个事件相互独立的概念，区别事件的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念；掌握公式P （AB ）=P （A ）P （B ）使用的前提条件：事件A 、B 为相互独立事件；理解1－P （A ）P （B ）表示两个相互独立事件A 、B 至少有一个不发生的概率．
（3）理解二项分布：X ～B （n ，p ），掌握二项分布的概率计算公式：P （X=k ）=k n C （1－p ）n －k p k ，以及对应的概率分布列，掌握二项分布的常见实例：反复抛掷一枚均匀硬币、已知次品率的抽样、有放回的抽样、射手射击目标命中率已知的若干次射击等，并能解决一些简单的实际问题；
（4）独立事件的概率、二项分布是高考考查的重点内容，对这部分知识的考查通常与其他知识结合在一起有一定的综合性．
2．实例剖析
（1）条件概率问题
例1．在10个各不相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率为（ ）
A ．
5
3 B ．5
2 C ．10
1 D ．9
5
分析：从题设可知，这是一个条件概率问题，可设出要求的事件A 、B ，由条件概率公式进行求解．
解析：方法一：设事件A ＝“第二次摸到红球”，事件B ＝“第一次摸到红球”，
则事件A|B 表示“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”，
由题意知，B 发生后，袋中还有9个球，其中5个红球4个白球，A 发生的概率为9
5，
即P （A|B ）＝
9
5．
方法二：设事件A ＝“第二次摸到红球”，事件B ＝“第一次摸到红球”，
则有P （B ）＝106
＝53
，P （AB ）＝
210
26A A
=
31
，那么有P （A|B ）＝
)
()
(B P AB P ＝5
331
＝95
． 点评：此题为一典型的求解条件概率问题，解决中用了不同的思路，既可以根据条件概率的含义解决，也可以由条件概率公式求解，无论哪种方法，必须准确地找对事件A 、B 、
A|B 、AB ，并熟练地求出其概率．
（2）独立事件问题
例2．某集团公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
（1）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （2）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由）
分析：三门课程考试是否及格是相互独立事件，根据事件的独立性加以分析解答．注意两种不同方案中条件的要求与比较．
解析：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，
则P （A ）=a ，P （B ）=b ，P （C ）=c ， （1）应聘者用方案一考试通过的概率：
p 1＝P （AB C ）＋P （A BC ）＋P （A B C ）＋P （ABC ） ＝ab （1－c ）+bc （1－a ）+ca （1－b ）+abc=ab+bc+ca －2abc ； 应聘者用方案二考试通过的概率： p 2=
3
1P （AB ）+3
1P （BC ）+3
1P （AC ）＝3
1（ab+bc+ca ）；
（2）因为a ，b ，c ∈[0，1]， 所以p 1－p 2=
3
2（ab+bc+ca ）－2abc=
3
2[ab （1－c ）+bc （1－a ）+ca （1－b ）]≥0，
故p 1≥p 2，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大．
点评：明确相互独立事件的条件是：（1）对两个事件而言的；（2）其中一个事件的发生
与否对另一事件发生的概率没有影响．
（3）二项分布问题 例3．“幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设有“Y es”与“No”两个选项，其中只有一个是正确的．选手每答对一题，获得一个商标．假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题．求：
（1）甲获得2个商标的概率；（2）乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标的概率． 分析：甲获得2个商标恰为二项分布问题，直接利用相应的概率公式计算．而对于乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标，要注意其前3次获得商标，则第4、5次必须不获得商标，步骤需要加以完善．
解析：由题意，甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，即他们每道题答对的概率均为2
1，
则回答5道题相当于做了5次二项分布问题，每次试验成功的概率为
2
1，
（1）甲获得2个商标的概率为P （X=2）=2
5C ×（
2
1）2
×（
2
1）3
=
16
5；
（2）乙只获得3个商标，且是连续获得3个商标，相当于“第1，2，3次对，第4，5次错”，或“第2，3，4次对，第1，5次错”，或“第3，4，5次对，第1，2次错”，
故概率为（
2
1）3×（2
1）2+（2
1）3×（2
1）2+（2
1）3×（2
1）2=
32
3．
点评：对于二项分布中的确定次数的事件的成功与失败的问题，与总的事件的成功与失败的问题是不一样的，要加以分清，思维要明确．
二．特别提示
1．独立性的注意点 （1）事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不
同的．已知事件A发生，在此条件下事件B发生，相当于事件AB发生，要求P（B|A）相当于把事件A看作新的基本事件空间来计算事件AB发生的概率．
（2）如果事件A与B相互独立，那么A与B、A与B、A与B也都是相互独立的．两两独立的n个随机事件总起来不一定是独立的．
（3）两个事件独立与互斥的区别是：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．学习时要注意区别分开，“独立性”是指两个试验中，一个事件的发生不影响另一个事件的概率大小；“互斥”是指两个事件之间有很强的依赖关系：在一次随机试验中，一个事件发生，另一个就不发生．如果事件B与C是互斥事件，则有P（B∪C|A）=P（B|A）+P（C|A）．
（4）P（AB）=P（A）P（B）使用的前提是A、B为相互独立事件．也就是说，只有两个相互独立事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．
（5）1－P（A）P（B）表示两个相互独立事件A、B至少有一个不发生的概率．
2．二项分布的注意点
（1）二项分布问题是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两种结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．即二项分布问题需要符合三个条件：①任意两次试验之间是相互独立的；②每一次试验都有两个事件，且这两个事件是相互对立的；③每次试验中的每个事件发生的概率是相同的．
二项分布问题是相互独立事件的特例．只要有“恰好”、“恰有”字样的用二项分布的概率公式计算更简单．但要弄清n，p，k的意义．
（2）二项式[（1－p）+p]n的展开式中，第k+1项为T k+1=k
C（1－p）n－k p k，可见P（X=k）
n
就是二项式[（1－p）+p]n的展开式中的第k+1项，故此公式称为二项分布公式．三．学法指导
1．条件概率的性质：任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P（B|A）≤1．
2．正确理解“相互独立事件”的定义，是判断两事件是否相互独立的关键．
3．对于较复杂的概率问题，应分清事件的构成以及概率的转化，熟悉“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等语句含义．注意运用逆向思维方法、集合的观点，以及利用事物间的内在联系将复杂事件的概率问题转化成简单事件的概率问题．4．二项分布问题常见实例有：（1）反复抛掷一枚均匀硬币；（2）已知次品率的抽样；（3）有放回的抽样；（4）射手射击目标命中率已知的若干次射击．。