§3 磁场的“高斯定理”与安培环路定理
引言：
磁场、电场均是矢量场，但磁场与电场性质不同。

在电学中有场方程：
⎰∑=⋅S
s q s d D 内
0ϖϖ， ⎰=⋅0l d E ϖ
ϖ
而在磁学中相应的该两方面（通量、环流）又该如何？即
⎰=⋅s
s d B ?ϖϖ， ?=⋅⎰L
l d B ϖ
ϖ
它们均可由毕奥－萨伐尔定律，结合叠加原理导出。

一、磁场的“高斯定理”
1、磁通量
引入磁力线形象化地描述磁场，疏密和切向所代表的含义类同电力线。

如图5-17，规定：通过一曲面S 的磁通量为
⎰
⎰=⋅=ΦS
S
m dS B S d B θcos ϖ
ϖ
在SI 制中各物理量的单位为
m Φ：韦伯（Wb ），1韦伯=1特21米⨯
B ρ
： 特斯拉（T ），2111米
韦伯特=，具有磁通密度概念。

2、B ρ
线的闭合性
即磁场的高斯定理：⎰=⋅S
S d B 0ϖ
ϖ。

表明：闭合曲面S 的磁通量为零，自然界
中不存在自由磁荷（磁单极）。

因稳恒电流本身是闭合的（⎰
=⋅S
S d j 0ϖ
ϖ）
，故闭合电流与闭合B ϖ
线相互套链。

高斯定理也表明，磁力线是无头无尾的闭合线，磁场是无源场。

图5-17 图5-18
θ B ϖ
d n ds s ϖ
ϖ=
Id l ϖθ r
d B ϖ
闭面S
3、高斯定理的证明思路
高斯定理可从毕奥－萨伐尔定律严格证明，这里仅提供思路。

如图5-18。

(1) 首先考虑单个电流元l Id ϖ
之场中
以l Id ϖ为轴线取一磁力线元管，其上磁场2
04sin r Idl dB πθμ=处处相等；再取任意闭曲面S ，若S 与之交链，则一进一出，0=Φm d ；若S 与之不交链，仍0=Φm d ；
再展扩至整体S 面上，得0=Φm 。

(2) 然后再考虑任意回路之总场是各电流元之场的叠加，因l Id ϖ
是任一电流
元，故对整体考虑，其结论不变。

二、安培环路定理
1、研究：⎰=⋅L
l d B ?ϖ
ϖ
2、特点：取积分回路L （称之为安培环路）沿B ϖ线，因B ϖ线闭合，且B ϖ
与l
d ϖ的夹角为零，而有⎰≠⋅L
l d B 0ϖ
ϖ。

3、内容：∑⎰=⋅)
(0内L L
I l d B μϖ
ϖ，其中右侧为穿过闭路L 的电流之代数和，按右
手定则规定，参见图5-19。

图5-19
4、定理证明：该定理可由毕奥－萨伐尔定律证明，下面先看l d B ρ
ρ⋅，再计算⎰⋅L
l d B ρ
ρ，最后再用叠加原理。

如图5-20，L －安培环路，L '－载流回路，作一负l d ρ
位移后成L ''。

I
I
L （正）
L （负） 右手定则 → →
图5-20
(1) 计算l d B ρ
ρ⋅
∵⎰
'
⨯'=
L r
r l d I B 2
04)ρπ
μ
∴l d r r
l d I l d B L ϖϖ
ϖϖ⋅⨯'=
⋅⎰')ˆ(42
0πμ ⎰'⋅'⨯=L r r
l d l d I 20ˆ)(4ϖ
ϖπμ （轮积） ＝⎰'⋅'-⨯L r r
l d l d I 20ˆ)(4ϖ
ϖπμ （换位）
如图5-20，s d l d l d ϖ
ϖϖ=-⨯)(，则
Ω-=-⋅-=⋅=⋅-⨯'d r r s d r r s d r r l d l d 2
22)
()()ϖ)ϖ)ϖϖ
为对P 点所张元立体角，从而
Ω-
=Ω-=⋅⎰
'
π
μπ
μ4400
I
d I l d B L ϖϖ Ω代表L '回路作位移l d ϖ
-所扫过带状面S 对P 点所张立体角。

S ″ L ″(后) S S ′
L ′（前）
I 载流回路L ′
r
ϖ P
d l ϖ
积分回路L
位移-d l ϖ
-r ˆ d s ϖ
-d l ϖ
再取以L '、L ''为周界（前后）之闭面：s s s '++''，使之不套链L （P 点在外），则0=Ω+Ω'-Ω''，即
l d l d l
ϖϖ
ϖ⋅Ω∇=⋅∂Ω∂=Ω'-Ω''=Ω-
代入上式给出
l d I
l d B ϖϖϖ⋅Ω∇=⋅π
μ40
又因l d ϖ
具有任意性，故
Ω∇=π
μ40I B ϖ
(2) 再看⎰⋅L
l d B ϖ
ϖ
上述场点P 为指定点，在P 处一元位移l d ϖ
所引起结果。

现P 点沿安培环路L
移动一周，则
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⋅=∆Ω'=⋅=∆Ω'⎰⎰L L I l d B L L b l d B L L a .4;
000μπϖ
ϖϖϖ，有：变总量相套链，则因立体角改与、若，有：变总量不套链，则因立体角改与、若 (3) 最后再用叠加原理
以上为单回路L '，若多载流回路，则从叠加原理知，每一回路均有上述结 论，进而有一般式：
⎰
∑=⋅L
L I l d B )
(0内μϖ
ϖ
5、说明
(1) 安培环路定理表达式中左边的B ϖ
是空间所有电流在回路处的合场，其积分结果可以用回路所围电流之代数和表示。

（区分：场本身与环流含义不同！）
(2) 磁场为无源有旋场，在磁场中一般不能象电场中那样引入标势描述。

(3) 两种类型举例：如图5-21，结果分别为
I l d B L
02μ-=⋅⎰ϖϖ ；
⎰
-=⋅L
I I l d B )(210μϖ
ϖ。

图5-21
三、安培环路定理应用举例
上述两定理普遍适用，但单独用⎰
∑=⋅L
l I l d B 内
0μϖ
ϖ解决问题，范围有限，只用
于问题具有某种对称性情况。

解决问题时，首先分析对称性，然后取安培环路L
过场点，再用定理求出场B ϖ。

例1：无限长载流I 的直导线外之场。

解：问题具有Z 轴对称性
∵,20I rB μπ=
∴θπμ)ϖr
I B 20=
该结果在前已有。

例2：无限长载流为I 、半径R 的圆截面载流直导线，求内、外B ϖ
分布。

解：如图5-22，电流密度2
R
I
j π=，导线内、外场点之场均呈轴对称，且方向沿圆周切向。

① R r >：I r B 02μπ=⋅
r
I
B πμ20=
∴ ② R r <：2
2
2r R
I r B ππμπ=⋅
2
02R r
I B πμ=
∴
r B ~ 曲线参见图5-22。

I
L
I
I 2
I 3
I 4
L
→
↓
例3：求螺绕环内的磁场。

设螺绕环平均半径为R ，总N 匝，载流I 。

解：经对称分析可知，B ϖ
沿圆周等大、方向沿切向，安培环路取半径R 的圆，则
NI RB 02μπ= nI R
N
I
B 002μπμ==∴内、0=外B 。

Z I R
P
B ϖ
B
O
R r
正比 反μ0I ∕2πR 图5-22。