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第五章稳恒磁场典型例题

第五章 稳恒磁场设0x <的半空间充满磁导率为μ的均匀介质,0x >的半空间为真空,今有线电流沿z 轴方向流动,求磁感应强度和磁化电流分布。

解:如图所示令 110A I H e r= 220A IH e r=由稳恒磁场的边界条件知,12t t H H = 12n n B B =又 B μ= 且 n H H =所以 1122H H μμ= (1) 再根据安培环路定律 H dl I ⋅=⎰ 得 12IH H r π+= (2) 联立(1),(2)两式便解得21120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++ 012120I I H r rμμμμπμμπ=⋅=⋅++ 故, 01110IB H e rθμμμμμπ==⋅+ 02220IB H e rθμμμμμπ==⋅+ 212()M a n M M n M =⨯-=⨯ 220()B n H μ=⨯-00()0In e rθμμμμπ-=⋅⋅⨯=+ 222()M M M J M H H χχ=∇⨯=∇⨯=∇⨯0000(0,0,)zJ Ie z μμμμδμμμμ--=⋅=⋅++ 半径为a 的无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上,试解矢势A 的微分方程,设导体的磁导率为0μ,导体外的磁导率为μ。

解: 由电流分布的对称性可知,导体内矢势1A 和导体外矢势2A 均只有z e 分量,而与φ,z 无关。

由2A ∇的柱坐标系中的表达式可知,只有一个分量,即 210A J μ∇=- 220A ∇=此即101()A r J r r rμ∂∂=-∂∂21()0A r r r r∂∂=∂∂ 通解为 21121ln 4A Jr b r b μ=-++212ln A c r c =+当0r =时,1A 有限,有10b =由于无限长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上,设r a =时,120A A ==,得202121ln 04Ja b c a c μ-+=+=又r a =时,12011e A e A ρρμμ⨯∇⨯=⨯∇⨯,得 112c Ja a μ-= 所以 2221220111,,224c Ja c Ja b Ja μμμ=-=-=所以, 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=写成矢量形式为 22101()4A J r a μ=--221ln 2a A Ja rμ=设无限长圆柱体内电流分布,0()z J a rJ r a =-≤求矢量磁位A 和磁感应B 。

解:建立坐标系如图所示,电流分布为 0,z J a rJ =- r a ≤0= , r a > 从电流分布可以知道磁矢位仅有z 分量,即 z z A A a =且满足方程 20A J μ∇=-设在圆柱体内磁位是1A 圆柱体外磁位是2A ,则 当r a ≤时,1001()A r rJ r r r μ∂∂=+∂∂ 当r a ≥时,21()0A r r r r∂∂=∂∂ 所以 3100121ln 9A J r C r C μ=++234ln A C r C =+其中1234,,,C C C C 是待定常数。

由于0r =处磁矢位不应是无穷大,所以10C =。

利用边界条件,有 320019C J a μ=-;330013C J a μ=;34001ln 3C J a a μ=-最后得: 3311000011()99z z A a A J r J a a μμ==-33001()9z J r a a μ=-322001ln 3z z rA a A J a a aμ==由B A =∇⨯得: 21110013A B A a J r a r ϕϕμ∂=∇⨯=-=-∂ 32220013z A B A a J a a r rϕμ∂=∇⨯=-=-∂载有电流的细导线,右侧为半径的半圆弧,上下导线相互平行,并近似为向左侧延伸至无穷远。

试求圆弧中心点处的磁感应强度。

解: 对圆弧中心点O 的磁感应强度,可认为是半圆弧电流与两条半直线电流,分别在O 点产生的磁感应强度的叠加。

对于半圆弧在O 点产生的磁感应强度1B ,可用毕奥-萨伐定律求得为 014IB Rμ=方向沿垂直纸面向外。

同样一根半长直线在O 点产生的磁感应强度'2B 为 '024IB Rμπ= 方向沿垂直纸面向外。

故O 点处的磁感应强度'122B B B =+⨯ 00244I IB R Rμμππ=+⨯ 代入数值得55.110()B T -=⨯方向沿垂直纸面向外。

两根无限长直导线,布置于1,0x y =±=处,并与z 轴平行,分别通过电流I 及I -,求空间任意一点处的磁感应强度B 。

解:无限长直导线产生的矢量磁位为 00ln 2z I r A a rμπ=0r 为有限值。

对于本题,可利用叠加原理,p 点的矢量磁位可看做是位于1x =-处的长直导线产生的矢量磁位和位于1x =+处的长直导线产生的矢量磁位的叠加,即 00012(ln ln )2z I r rA a r r μπ=- 021ln 2zI r a r μπ= 20212cos ln()212cos zI r r a r r μϕπϕ++=+- 根据1()z zz z r A A B A a A a a r r φφ∂∂=∇⨯=∇⨯=-+∂∂ 有202212(1)sin r I r B r r μφπ+=-202212(1)cos I r B r r ϕμφπ-=0z B =半径的磁介质球,具有磁化强度为2()z M a Az B =+ 求磁化电流和磁荷。

解: 球内:等效磁化电流体密度为 等效磁荷体密度为m J M =∇⨯ 221()()0ra Az B a Az B r rϕϕ∂∂=+-+=∂∂ 等效磁荷密度为2m z M M Az zρ∂=-∇⋅=-=-∂ 球表面:磁化面电流密度为sm z r J M n a M a =⨯=⨯因球面上 cos z a θ=故 2[(cos )]sin sm J a A a B ϕθθ=+ 其磁荷面密度为 2[(cos )]cos m n M a A a B ϕσθθ=⋅=+已知两个相互平行,相隔距离为d ,共轴圆线圈,其中一个线圈的半径为a ()a d <,另一个线圈的半径为b ,试求两线圈之间的互感系数。

解:如图所示,设1C 中电流为1I ,在轴线上产生的磁场为 21132222()z I b B b d μ=+因da ,可认为B 在包围的面积2S 上是均匀的,所以2201211232222()I b B S a b d μϕπ==+根据互感系数的定义,得 22021322212()a b M I b d μπϕ==+两平行无限长直线电流1I 和2I ,相距为d ,求每根导线单位长度受到的安培力m F 。

解: 一根无限长直导线电流的磁场 0112I B a rϕμπ= 另一根直导线电流的电流元22I dl 受到磁场力 221dF I dl B =⨯ 01222I I dl a ϕμπ=⨯ 01222xI I a dl dμπ=- 故单位长受力 0122m xI I F a dμπ=-一个薄铁圆盘,半径为a ,厚度为b ()b a ,如题图所示。

在平行于z 轴方向均匀磁化,磁化强度为M 。

试求沿圆铁盘轴线上、铁盘内、外的磁感应强度和磁场强度。

解 由于铁盘均匀磁化,且磁化方向沿z 正向,故令z M Me =,其中M 为常数。

由此可知磁化电流面密度0m J M =∇⨯=铁盘上、下底面的磁化电流线密度()10m n z z K M e Me e =⨯=⨯±=题图铁盘侧面周边边缘上的磁化电流线密度 m n z K M e Me e Me ρφ=⨯=⨯=这样可将圆盘视为相当于m I K b =的圆形磁化电流,求此电流在各处产生的磁场。

又由于b a ,可视为圆环电流产生的磁场。

在铁盘轴线上产生的磁场为()()22003232222222Ia Mba B z az aμμ==++()2322202BMba H z aμ==+B 、H 的方向沿z 方向。

铁盘内由于0μμ,可得001B M μμμ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0B M μ≈在铁盘内是均匀分布的磁场。

均匀磁化的无限大导磁媒质的磁导率为μ,磁感应强度为B ,若在该媒质内有两个空腔,,空腔1形状为一薄盘,空腔2像一长针,腔内都充有空气。

试求两空腔中心处磁场强度的比值。

解 此题由于空腔的形状可以利用边界条件确定空腔内的场分布。

对空腔1其中心处的场强与侧边界的场强相同。

由于B 在其法线方向,由分界面上的边界条件12n n B B =,可得到中心点的磁感应强度1B B =,10H H μμ=。

题 图对空腔2侧面是沿B 的方向,由分界面上的边界条件12t t H H =,可得中心点处的磁场强度2H H =,02B B μμ=。

两空腔中心处磁场强度的比值为120H H H Hμμμμ==两个无限大且平行的等磁位面D 、N ,相距h ,10mD ϕ=A ,0mN ϕ=。

其间充以两种不同的导磁媒质,其磁导率分别为10μμ=,202μμ=,分界面与等磁位面垂直,求媒质分界面单位面积受力的大小和方向。

解 根据m H ϕ=-∇则10mD mNH hhϕϕ-==, 方向沿分界面切线方向。

利用分界面上的边界条件,1210t t H H h==,则 010110B H hμμ==202202B H hμμ==利用磁感应线管,沿分界面法向受到侧压力,故单位面积受力的大小为0012112251122f f f B H B H hμ=-=-=- 00f <,说明作用力沿媒质2指向媒质1,即从磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。

题图长直导线附近有一矩形回路,回路与导线不共面,如题图()a 所示。

证明:直导线与矩形回路间的互感为()012122222ln 22aRM b R C b R μπ=-⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦题图()a题图()b解 设长直导线中的电流为I ,则其产生的磁场为 02IB rμπ=由题图()b 可知,与矩形回路交链的磁通ψ为1000121ln 222R SRI aI aI R B dS dr r R μμμψπππ===⎰⎰其中 (121222222212R C b R C R b b R C ⎡⎤⎡=++-=++-⎢⎥⎣⎣⎦故直导线与矩形回路间的互感为1222200122ln ln 22R b b R C a a R M I R R μμψππ⎡++-⎣⎦===()012122222ln 22aRb R C b R μπ=-⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦一环形螺线管的平均半径015r cm =,其圆形截面的半径2a cm =,铁芯的相对磁导率1400r μ=,环上绕1000N =匝线圈,通过电流0.7I A =。

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