石油工程传热学
变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： (1)求解导热微分方程，获得温度场； (2)根据 Fourier 定律和已获得的温度场计 算热流量；
对于稳态、无内热源、第一类边界条件 下的一维导热问题，可以不通过温度场 而直接获得热流量。
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此时，一维Fourier定律：
2 2 2 2
b<0
tw2
d 2t b dt dx 2 0 bt dx
2
0
x
当b>0时，曲线上凸； 当b<0时，曲线下凹； 当b=0时，为直线 。
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3.1.2 通过圆筒壁导热
1、单层圆筒壁的稳态导热 稳态导热 t

0
1 t 1 t t ( r ) 2 ( ) ( ) 0 柱坐标系： r r r r z z
在这种情况下，两壁面 Δt t2 之间只有接触的地方才直 接导热，在不接触处存在 t t1 空隙。 热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐 射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热 阻。
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接触热阻是普遍存在 的，而目前对其研究又不 充分，往往采用一些实际 测定的经验数据。 通常，对于导热系数较小 的多层壁导热问题接触热 阻多不予考虑；但是对于 金属材料之间的接触热阻 就是不容忽视的问题。
dx
2


q
0
(a)
边界条件与无内热源时相同:
x=0,
x=,
dt 0 dx w
hc (b)
tf
dt hc tw2 t f dx x

(c)
0

x
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对微分方程式(a)进行积分, 得
dt x c1 dx
(d)
将边界条件(b)代入上式,当x=0，q=0，可求得积分 常数 c1 = 0 t
解：
已知 1＝0.24m, 1=1.04W/(mK)
2＝0.05m, 2=0.15W/(mK)
3＝0.115m, 3=0.63W/(mK) tw1=1000℃，tw4=60℃
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1 2 3 1 2 3 1 tw 2 tw1 q 700℃ 1 2 tw3 tw 2 q 289℃ 2
dt Φ A dx
当＝(t)(随温度变化)时， dt Φ A (t ) dx
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分离变量后积分，并注意到热流量Φ与x无关( 稳态)，得 dt Φ (t ) A( x)
dx

x2
x1
(t ) t2 (t2 t1 ) dx t (t )dt 1 (t2 t1 ) t1 A t2 t1 t2 t1
这样可求出C2
2 c2 tf hc 2
于是，壁内的温度分布为
2 2 t x tf 2 hc 2
平壁内部温度具有最大值的位置可由下式求出:
dt 0 dx x xmax



xmax 0
xmax 0
最大值tmax为： tmax
2 tf hc 2
Q
tw1 tw 2 t t t t w 2 w3 w3 w 4 r r r 1 1 1 n 2 n 4 n 3 21l r1 22l r2 23l r3
tw1 tw 4 Q ri 1 1 3 1 n 2 l i 1 i ri
单位管长的热流量
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
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2、多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成
例：锅炉的炉墙 — 耐火砖层、 隔热砖层、保温层层、金属护 板组成 假设各层之间接触良好，可以 近似地认为接合面上各处的温 度相等
t1
t2 t3
q t4
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q
t1 t 2
1

t 2 t3
dt x dx
(e)
tw1
hc
对式(e)再进行积分, 得
t 1 2 x c2 2
(f)
将式(e)、（f）都带入（c）得
1 2 hc c2 t f 2
tf
(g) 0

x
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控制 方程
定解条件：
第一类 边界
x 0, t tw1 x , t tw 2
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直接积分，得：
dt c1 t c1 x c2 dx
d t dx
2
2
0
t w2 t w1 c1 带入边界条件： c2 t w1
将系数带入第二次积分结果
tw 2 tw1 t tw1 ln(r r1 ) ln(r2 r1 )
显然，温度呈对数曲线分布
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下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况
ln(r r1 ) 求导 t tw1 (tw1 tw 2 ) ln(r2 r1 )
热流 密度
t w1 t w 2 1 dt dr ln(r2 r1 ) r
r2
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对上述方程(a)积分两次:
第一次积分 第二次积分
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
应用边界条件
tw1 c1 ln r1 c2 ; tw2 c1 ln r2 c2
tw 2 tw1 c1 ; ln(r2 r1 )

获得两个系数
ln r1 c2 tw1 (tw 2 tw1 ) ln(r2 r1 )
第三章 导热问题的分析与计算
§3-1 一维稳态导热
§3-2 通过肋片的稳态导热
§3-3 对流边界条件下的一维非稳态导热 §3-4 集总参数分析法 §3-5 半无限大物体的非稳态导热 §3-6 井筒周围的非稳态导热
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第三章
导热问题的分析与计算
第一部分
稳态导热
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§3-1 一维稳态导热
a.单层壁导热
b.多层壁导热
c. 复合壁导热
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1、单层平壁的导热 a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知； 无内热源
t 稳态导热 : 0 c 时间条件：
d 边界条件：第一类
类似于渗流力学中单相流体的平面平行流的渗流过程
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根据上面的条件可得：
2 t t d t c ( ) Φ 0 2 x x dx
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t w 2 t w1 t x t w1 带入Fourier 定律 t t d t w 2 w1 dx
线性 分布
r
R A
t w 2 t w1 t q t ( A )
本节将针对一维、稳态、常物性情况，考察 平板和圆柱内的导热。 直角坐标系：
t t t t c ( ) ( ) ( ) Φ x x y y z z
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3.1.1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两 侧保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态 导热问题。 平板可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型 。
t2

t1 (t )dt
t2 t1
t2


(t1 t2 )
x1
x2
dx A( x)
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当随温度呈线性分布时，即＝0＋at，则
t1 t2 0 a 2
实际上，不论 如何变化，只要能计算出 平均导热系数，就可以利用前面讲过的所
有定导热系数公式，只是需要将 换成平
W
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
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单位长度圆筒壁的热流量（亦称 为线热流密度）：
tw1 tw 2 Φ tw1 tw 2 ql r2 1 l Rl ln 2 r1
W m
r2 Rl ln 单位长度圆筒壁的导热热阻，m· K/W 2 r1 1
1
2

t3 t 4
ห้องสมุดไป่ตู้t1
t2 t3
2
3
3
q
由和分比关系
q
t4
1
1
＋ 2
t1 t 4
2
＋
3
3
t1 r1 t2 r2 t3 r3 t4
推广到n层壁的情况:
q t1 t n 1
i i 1 i
n
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3、接触热阻
在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间 是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在 工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之 间的接触都不可能是紧密的。 x
虽然是稳态情况， 但热流密度 q 与半 径 r 成反比！
恒定值
dt tw1 tw2 q dr r ln(r2 r1 )
W m
2
热流 量
2 l (tw1 tw 2 ) Φ 2 rlq ln(r2 r1 )
t ln(d 2 / d1 ) R 2l
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2、通过多层圆筒壁的导热 由不同材料构成的多层圆筒壁 带有保温层的热力管道、嵌套的金属管道和结垢、 积灰的输送管道等 由不同材料制作的圆筒同心紧密结合而构成多层圆 筒壁 ，如果管子的壁厚远小于管子的长度，且管 壁内外边界条件均匀一致，那么在管子的径向方向 构成一维稳态导热问题。
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硅藻土层的平均温度为
q
tw1 tw 4