两种情况散热量之比为：
ql 0.1426 1.19或 ql 0.84
ql 0.11969
ql
结论：导热系数大的材料在外面，导热系数小 的材料放在里层对保温更有利。
例题3-6 电厂中有一直径为0.2m的过热蒸汽管道，钢
管壁厚为0.8mm ,钢材的热导率为λ1=45W/(m·K)，管 外包有厚度为δ=0.12m的保温层，保温材料导热系数 为λ2=0.1W/(m·K)，管内壁面温度为tw1=300℃，保温 层外壁面温度为tw3=50℃。试求单位管长的散热损失。
1 l n r2
1 l n r3
1 l n r4
21l r1 22l r2 23l r3
Q
tw1 tw4 1 3 1 l n ri1
2 l i1 i ri
单位管长的热流量
ql

Q l

1
tw1 tw4 3 1 l n ri1
2 i1 i ri
例3－5 某管道外经为2r，外壁温度为tw1，如外包
c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ x x y y z z
3.1.1 通过平壁的导热
平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平板两侧 保持均匀边界条件的稳态导热就可以归纳为一维稳态导 热问题。
平板可分为单层壁，多层壁和复合壁等类型。
（2）利用前面已讲过的导热系数为常数计
算公式，只需要将换成平均温度下的平均 导热系数m。
如：随温度呈线性分布＝0＋bt，则
m

0
b
t1
t2 2
❖ 如果取直线关系时(λ=λ0+bt，λ0>0)，此时温度分布 曲线的性质与b的正负和数值有关。
q


t

dt dx


0

bt
t2
Δt
接导热，在不接触处存在
空隙。
t1
t
热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐 射的方式传递的，因而存在传热阻力，称为接触热
阻。
接触热阻是普遍存在 的，而目前对其研究又不 充分，往往采用一些实际 测定的经验数据。
通常，对于导热系数较小 的多层壁导热问题接触热 阻多不予考虑；但是对于 金属材料之间的接触热阻 就是不容忽视的问题。
两层厚度均为r（即2＝3＝r）、导热系数分别为 2和3（2/3=2）的保温材料，外层外表面温度
为tw2。如将两层保温材料的位置对调，其他条件 不变，保温情况变化如何？由此能得出什么结论？
解： 设两层保温层直径分别为d2、d3和d4，则 d3/d2=2，d4/d3=3/2。导热系数大的在里面：
例3-1 有一砖砌墙壁，厚为0.25m。已知内外壁面 的温度分别为25℃和30℃。试计算墙壁内的温度 分布和通过的热流密度。
解法一：导热微分方程式简化+定解条件→积分求 温度→傅立叶定律→热流密度
解法二：傅立叶定律积分→热流密度
解法一：一维稳态无内热源导热问题
控制方程：
d2t dx2

0
定解条件：
q
tw1 tw4
1 2 3
1259W/m2
1 2 3
tw2

tw1
q 1 1

700℃
tw3
tw2
q 2 2
289℃
硅藻土层的平均温度为 tw1 r1
tw1
tw2
tw
3
q
tw4
tw2 r2 tw3 r3 tw4
tw2 tw3 499℃ 2

0
tw1
(a)
边界条件与无内热源时相同:
hc
x=0, q dt 0
(b)
dx w
tf
x = ,

dt dx

x
hc
tw2 t f
(c)
0
x
对微分方程式(a)进行积分, 得
dt dx


&x


c1
(d)
将边界条件(b)代入：当x=0，q=0，可得：c1 = 0
)

17.4W/m2
例3-2 由三层材料组成的加热炉炉墙。第一层为耐火砖。 第二层为硅藻土绝热层，第三层为红砖，各层的厚度及
导 热 系 数 分 别 为 1 ＝ 240mm ， 1=1.04W/(mK) ， 2 ＝ 50mm, 2=0.15W/(mK)，3＝115mm, 3=0.63W/(mK)。
c t ( t ) Φ x x
d2t dx2

0
方程
定解条件：
x 0,
x ,
t tw1 t tw2
第一类 边界
直接积分，得：
dt dx

c1

t c1x c2
d2t dx2

0
带入边界条件：
c1

tw2 tw1

c2 tw1
tw1
hc
t


&
2
x2

&
hc

& 2
2

t
f
tf
0
x
平壁内部温度具有最大值的位置可由下式求出:
dt
0
dx xxmax
&xmax 0
xmax 0
最大值tmax为：
tmax

&
hc
& 2 2
tf
q的变化规律？
变导热系数问题
（1）计算平均温度下的平均导热系数m；
第三章 导热的计算与分析
§3-1 一维稳态导热 §3-2 通过肋片的稳态导热 §3-3 对流边界条件下的一维非稳态导热 §3-4 集总参数分析法 §3-5 半无限大物体的非稳态导热 §3-6 井筒周围的非稳态导热
3.1 一维稳态导热
本节将针对一维、稳态、常物性情况，考察 平板和圆柱内的导热。 直角坐标系：
பைடு நூலகம்
ql
tw1 tw2

1 ln d3 1 ln d4
1
t
3t
ln 2＋ 1 ln 3 0.11969
22 d2 23 d3 2 23
23 2
导热系数大的在外面：
ql
1
tw1 t w2 ln 2 1
＝ 3t
ln 3 0.1426
23
2 23 2
0.2m
2 0.1W /(m K)
0.216 m

250 (0.272 103
线性
t

tw2 tw1

x
tw1
分布



dt

tw2
tw1
带入Fourier 定律

dx

r
R A
q


tw2 tw1


t


t
(A)
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2、多层平壁的导热
多层平壁：由几层不同材料组成
3
推广到n层壁的情况:
t1 r1
t2 r2 t3 r3
t4
q t1 tn1
n i
i1 i
3、接触热阻
在推导多层壁导热的公式时，假定了两层壁面之间
是保持了良好的接触，要求层间保持同一温度。而在
工程实际中这个假定并不存在。因为任何固体表面之
间的接触都不可能是紧密的。 x
在这种情况下，两壁面 之间只有接触的地方才直
假设：tw1>tw2
tw1 r1
tw2 r
r2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分
r
dt dr

c1

t c1 ln r c2
应用边界条件
tw1 c1 ln r1 c2; tw2 c1 ln r2 c2 获得两个系数
c1

tw2 ln(r2
tw1 r1 )
;
c2
W
恒定值
根据热阻的定义，通过整个圆筒壁的导热热阻为：
R t ln(d2 / d1 )
2l
单位长度圆筒壁的热流量（亦称 为线热流密度）：
Φ ql l
tw1 tw2 1 ln r2
2 r1
tw1 tw2 Rl
W m
Rl

1
2
ln
r2 r1
单位长度圆筒壁的导热热阻，m·K/W
解：这是一个通过二层圆筒壁的稳态导热问题。根 据前面的计算式或者热阻串联关系，有
ql
tw1 tw3 1 ln d2 1
ln d3
21 d1 2 2 d2

(300 50)K
1
ln (0.2 2 0.008)m
1
ln (0.216 2 0.12)m
2 45W /(m K)
dt &x
(e)
dx
对式(e)再进行积分, 得
t


1 2
&x2


c2
(f)
将式(e)、（f）都带入（c）得




&


hc

1 2
&
2

c2
tf

(g)
t
这样可求出C2
& & 2 c2 hc 2 t f