【高中数学专项突破】专题40 函数y=Asin(x+φ)考点1 三角函数的平移变换和伸缩变换1.要得到函数y ＝sin (2x +π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位2.为了得到函数y ＝sin (2x −π6)的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度3.要得到函数y ＝√2cos x 的图象，只需将函数y ＝√2sin (2x +π4)图象上的所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 4.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度5.为了得到y ＝cos4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变6.将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A ．3π4 B ．12π C ．38π D ．18π7.为得到函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象，只要把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变8.(1)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝2cos (−12x +π4)的图象？(2)如何由y ＝13sin (2x +π3)的图象得到y ＝sin x 的图象？考点2 求三角函数的解析式9.为了得到函数y＝3sin(2x＋π5)，x∈R的图象，只需把函数y＝3sin(x＋π5)，x∈R的图象上所有点的()A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变10.已知简谐运动f(x)＝2sin(π3＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π311.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米)，设h＝A sin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是()A．A＝8 B．ω＝π6C．φ＝π2D．B＝1012.y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y＝f(x)的解析式为()A．y＝3sin(x＋1)B．y＝－3sin(x＋1)C．y＝3sin(x－1)D．y＝－3sin(x－1)13.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是()A．y＝4sin(4x+π6)＋2B．y＝2sin(2x+π3)＋2C．y＝2sin(4x+π3)＋2D．y＝2sin(4x+π6)＋214.如图是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是________.15.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.16.在同一地点，单摆在振幅很小的情况下，其周期T(单位：s)与摆长l(单位：m)的算术平方根成正比.(1)写出单摆的周期关于摆长的函数解析式；(2)通常把周期为2s的单摆称为秒摆，若某地秒摆的摆长为0.994m，求在该地摆长为0.300m的单摆的周期.17.弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置h厘米有下列关系确定h).＝2sin(t−π4(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象；(2)小球在开始震动时的位置在哪里？(3)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(4)经过多少时间小球往复运动一次？(5)每秒钟小球能往复振动多少次？18.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.考点3 三角函数图像的综合应用19.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是()A．B．C．D．20.设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则()A．f(x)的图象过点(0,12)B．f(x)在[5π12,2π3]上是减函数C．f(x)的一个对称中心是(5π12,0)D．f(x)的最大值是A21.函数y＝lg sin(π4－2x)的单调递增区间是()A．[kπ－π8，kπ＋π6)(k∈Z)B．[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)C．[kπ－5π8，kπ－π8)(k∈Z)D．(kπ−3π8,kπ−π8](k∈Z)22.关于f(x)＝4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos(2x−π6)；③y＝f(x)图象关于(−π6,0)对称；④y＝f(x)图象关于x＝－π6对称.其中正确命题的序号为________.23.如下图，f(x)＝A sin(2ωx+φ)(ω＞0，A＞0，－π2＜φ＜0).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－π，－π2]上的值域.24.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.25.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合.26.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象如图所示.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x＋π8)的零点.27.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2).(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的单调增区间；(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域.专题40 函数y=Asin(x+φ)考点1 三角函数的平移变换和伸缩变换1.要得到函数y＝sin(2x+π3)的图象，只要将y＝sin2x的图象()A．向左平移π3个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向右平移π6个单位【答案】C【解析】因为y＝sin(2x+π3)＝sin2(x+π6)，所以把y＝sin2x的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y＝sin2(x+π6)＝sin(2x+π3)的图象.2.为了得到函数y＝sin(2x−π6)的图象，可以将函数y＝cos2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【答案】B【解析】y ＝sin (2x −π6)＝cos [π2−(2x −π6)]＝cos (2π3−2x)＝cos (2x −2π3)＝cos2(x −π3). 3.要得到函数y ＝√2cos x 的图象，只需将函数y ＝√2sin (2x +π4)图象上的所有点的( )A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度【答案】C【解析】∵y ＝√2cosx ＝√2sin (x +π2)，∴y ＝√2sin (2x +π4)纵坐标不变→ 横坐标伸长到原来的2倍y ＝√2sin (x +π4)向左平行移动π4个单位长度→ y ＝√2sin (x +π2).4.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2(x ＋12)，∴把y ＝sin2x 的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度，即可得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象.5.为了得到y ＝cos4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( )A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变【答案】B【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变.6.将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A ．3π4 B ．12π C ．38π D ．18π【答案】C【解析】将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，可得y ＝2sin[2(x －φ)＋π4]＝2sin(2x ＋π4－2φ)的图象.再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y ＝2sin(4x ＋π4－2φ).再根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得4×π4＋π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝－kπ2＋3π8，故φ的最小值为3π8.7.为得到函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象，只要把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变【答案】A【解析】把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，可得函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象.8.(1)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝2cos (−12x +π4)的图象？ (2)如何由y ＝13sin (2x +π3)的图象得到y ＝sin x 的图象？ 【答案】(1)∵y ＝2cos (−12x +π4)＝2cos (12x −π4)＝2cos (12x +π4−π2)＝2sin (12x +π4)， ∴y ＝sin x 向左平移π4个单位→ y ＝sin (x +π4)横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍→ y ＝2sin (12x +π4)＝2cos (−12x +π4). (2)y ＝13sin (2x +π3)横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍→ y ＝sin (2x +π3)纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍→y＝sin(x+π3)向右平移π3个单位→ y＝sin x.考点2 求三角函数的解析式9.为了得到函数y＝3sin(2x＋π5)，x∈R的图象，只需把函数y＝3sin(x＋π5)，x∈R的图象上所有点的()A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变【答案】B【解析】由函数图象变换的规则可知，函数y＝3sin(2x＋π5)，x∈R的图象可以由函数y＝3sin(x＋π5)，x∈R的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到.10.已知简谐运动f(x)＝2sin(π3＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3【答案】A【解析】由题意知图象经过点(0,1)，即2sinφ＝1，又因|φ|＜π2可得，φ＝π6，由函数的周期得T＝6.11.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米)，设h＝A sin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是()A．A＝8 B．ω＝π6C．φ＝π2D．B＝10【答案】C【解析】一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h米，设h＝A sin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，所以T＝12，ω＝π6，A＝8，B＝10，显然选项A、B、D正确，C错误.12.y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y＝f(x)的解析式为()A．y＝3sin(x＋1)B．y＝－3sin(x＋1)C．y＝3sin(x－1)D．y＝－3sin(x－1)【答案】D【解析】A ＝3，ω＝2πT ＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f (x )＝3sin[x ＋(π－1)]＝－3sin(x －1).13.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线 x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )A ．y ＝4sin (4x +π6)＋2 B ．y ＝2sin (2x +π3)＋2 C ．y ＝2sin (4x +π3)＋2 D ．y ＝2sin (4x +π6)＋2 【答案】D【解析】∵最大值是4，故A 不符合题意.又∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，故排除B.又4x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )⇒4x ＝π6＋k π(k ∈Z )⇒x ＝π24＋kπ4＝π3(k ∈Z )，∴k ＝76∉Z ，排除C ，故选D.14.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是________.【答案】A ＝1，T ＝43π，φ＝－3π4【解析】由图知周期T ＝43π，A ＝1，又因为T ＝2πω，知ω＝32，再将点(π6，1)代入y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，计算求出φ＝－3π4.15.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.【答案】2，－π3【解析】∵在同一周期内，函数在x ＝5π12时取得最大值，x ＝11π12时取得最小值，∴函数的周期T 满足T 2＝11π12－5π12＝π2， 由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2，得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又∵当x ＝5π12时取得最大值2，∴2sin(2··5π12＋φ)＝2，可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∵－π2＜φ＜π2，∴取k ＝0，得φ＝－π3.16.在同一地点，单摆在振幅很小的情况下，其周期T (单位：s)与摆长l (单位：m)的算术平方根成正比.(1)写出单摆的周期关于摆长的函数解析式；(2)通常把周期为2s的单摆称为秒摆，若某地秒摆的摆长为0.994m，求在该地摆长为0.300m的单摆的周期.【答案】(1)∵周期T(单位：s)与摆长l(单位：m)的算术平方根成正比，.∴T＝2π√1g(2)∵某地秒摆的摆长为0.994m，∴2＝2π√0.994，g∴g＝0.994π2，≈1.095.∴摆长为0.300m的单摆的周期为2π√0.3000.994π217.弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置h厘米有下列关系确定h).＝2sin(t−π4(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象；(2)小球在开始震动时的位置在哪里？(3)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(4)经过多少时间小球往复运动一次？(5)每秒钟小球能往复振动多少次？【答案】(1)由题意可得h＝2sin(t+π4)的图象，如图.(2)由题意可得当t＝0时，h＝2sin(t+π4)＝√2，故小球在开始震动时的位置在(0，√2).(3)由解析式可得振幅A＝2，故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2厘米.(4)可得函数的周期为T＝2π，故小球往复运动一次需2π.(5)可得频率为12π，即每秒钟小球能往复振动12π次.18.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.【答案】∵14T ＝＝π8－(－π8)＝π4，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2. 根据五点法作图可得2×π8＋φ＝0，求得φ＝－π4，∴函数f (x )＝2sin(2x －π4).考点3 三角函数图像的综合应用19.已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝1，C 符合；当0＜|a |＜1时， T ＞2π，且最小值为正数，A 符合；当|a |＞1时，T ＜2π，B 符合.排除A 、B 、C ，故选D.20.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则( )A ．f (x )的图象过点(0,12) B ．f (x )在[5π12,2π3]上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是(5π12,0)D ．f (x )的最大值是A【答案】C 【解析】∵周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f(x)的图象关于直线x＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ－5π6(k∈Z).又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝A sin(2x+π6).∴图象过(0,A2).当x＝5π12，2x＋π6＝π，即f(5π12)＝0时，(5π12,0)是f(x)的一个对称中心.21.函数y＝lg sin(π4－2x)的单调递增区间是()A．[kπ－π8，kπ＋π6)(k∈Z)B．[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)C．[kπ－5π8，kπ－π8)(k∈Z)D．(kπ−3π8,kπ−π8](k∈Z)【答案】D【解析】令2kπ＋π＜2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，2kπ＋5π4＜2x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，kπ＋5π8＜x≤kπ＋7π8(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(kπ－3π8，kπ－π8](k∈Z).22.关于f(x)＝4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos(2x−π6)；③y＝f(x)图象关于(−π6,0)对称；④y＝f(x)图象关于x＝－π6对称.其中正确命题的序号为________.【答案】②③【解析】对于①，由f(x)＝0，可得2x＋π3＝kπ(k∈Z).∴x＝k2π－π6，∴x1－x2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin(2x+π3)利用公式得f(x)＝4cos[π2−(2x+π3)]＝4cos(2x−π6)，∴②对；对于③，f(x)＝4sin(2x+π3)的对称中心满足2x＋π3＝kπ，k∈Z，∴x＝k2π－π6，k∈Z，∴(−π6,0)是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，∴x＝π12＋kπ2，k∈Z，∴④错.23.如下图，f(x)＝A sin(2ωx+φ)(ω＞0，A＞0，－π2＜φ＜0).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－π，－π2]上的值域.【答案】(1)由题知A＝2，T＝43(2π3+π12)＝π，由周期公式得2ω＝2πT＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ).又∵f (x )的图象过(0，－1)，∴2sin φ＝－1，又∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π6.∴f (x )＝2sin(2x －π6).(2)∵x ∈[－π，－π2]，∴2x －π6∈[−13π6,−7π6]，∴2sin(2x －5π6)∈[－1,2]， ∴函数f (x )在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].24.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f (x )的解析式.【答案】∵14T ＝π8－(－π8)＝π4，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2.根据五点法作图可得2×π8＋φ＝0，求得φ＝－π4，∴函数f (x )＝2sin(2x －π4).25.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的一段图象如图所示.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合.【答案】(1)由图象可以得到函数f (x )的振幅A ＝3，设函数周期为T ，则34T ＝4π－π4＝15π4，所以T ＝5π，则ω＝25， 由ωx 0＋φ＝0，得25×π4＋φ＝0，所以φ＝－π10，所以f (x )＝3sin(25x －π10).(2)由π2＋2k π≤25x －π10≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π2＋5k π≤x ≤4π＋5k π(k ∈Z )， 所以函数的减区间为(3π2＋5k π，4π＋5k π)，k ∈Z .函数f (x )的最大值为3，当且仅当25x －π10＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋5k π(k ∈Z )时函数取得最大值.所以函数的最大值为3，取得最大值时的x 的集合为{x |x ＝3π2＋5k π(k ∈Z )}. 26.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象如图所示.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x ＋π8)的零点.【答案】(1)由图知A＝2，T＝2(5π8−π8)＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ).又∵f(π8)＝2sin(π4+φ)＝2，∴sin(π4＋φ)＝1，∴π4＋φ＝π2＋2kπ，∴φ＝π4＋2kπ(k∈Z).∵0＜φ＜π2，∴φ＝π4，∴函数的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π4).(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋π4)，∴f(x＋π8)＝2sin(2x+π2)＝2cos2x＝0，∴2x＝kπ＋π2，即x＝kπ2＋π4(k∈Z).∴函数y＝f(x＋π8)的零点为x＝kπ2＋π4(k∈Z).27.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2).(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的单调增区间；(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域.【答案】(1)由题意作出f(x)的简图如图.由图象知A＝2，由T2＝2π，得T＝4π，∴4π＝2πω，即ω＝12，∴f (x )＝2sin(12x ＋φ)，∴f (0)＝2sin φ＝1.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(12x ＋π6).∵f (x 0)＝2sin(12x 0＋π6)＝2， ∴12x 0＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴(x 0,2)是y 轴右侧的第一个最高点，∴x 0＝2π3.(2)由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－43π＋4k π≤x ≤23π＋4k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调增区间为[−4π3+4kπ,2π3+kπ](k ∈Z ).(3)∵－π≤x ≤π，∴－π3≤12x ＋π6≤2π3，∴－√32≤sin (12x +π6)≤1， ∴－√3≤f (x )≤2，故f (x )的值域为[－√3，2].。