例9已知函数 的图像关于直线y=x对称，求实数 的值
【能力提高】
1.抽象符号 的理解和应用
（1）符号 表示函数f(x)的反函数； 不是表示函数 的反函数，而是表示在 中以 代替x所得到的函数
（2）函数y=f(x)与函数 的图像关于y=x对称；函数 与函数x=f(y)的图像关于y=x不对称，而是相同图像；函数y=f(x)与x=f(y)的图像不同，而是关于直线y=x对称
（1）若y=f(x)为单调递增函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点必在直线y=x上
（2）若y=f(x)是单调递减函数，则y=f(x)与其反函数图像的交点可能不都在y=x上
例12在 五个点中，函数 的图像与其反函数
的图像的公共点可能是（多选题）（）
A P B Q C M D N E G
例13已知函数 ，其反函数为
例10已知函数 ，函数y=g(x)的图像与函数 的图像关于直线y=x对称，求g(5)的值
例11已知函数y=g(x)的图像过点（4，5），且在R上单调递增；若函数 存在反函数，求实数 的取值范围
2.函数与反函数图像的交点问题
函数y=f(x)的图像若与直线y=x相交，则其反函数的图像也必须与直线y=x交于此点；但函数y=f(x)与其反函数 的图像的交点未必都在直线y=x上
1.反函数的概念
一般地，对于函数y=f(x)，设它的定义域为D，值域为A.如果对于A中任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的x值与它对应，使y=f(x)成立，这样得到的x关于y的函数叫做y=f(x)的反函数，记为 .习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为
【注】（1）反函数存在性问题：不是所有的函数都存在反函数：一个函数存在反函数的充要条件是确定这个函数的对应是从定义域到值域上的一一对应
A 4 B 3 C 2 D 1
9.求下列函数的反函数：
（1） （2）
10.已知函数f(x)为一次函数，且 ，求f(x)的解析式
11.（选）函数y=f(x)， 图像与直线y=-x+m分别交于 ,求
12.（选）已知 ，g(x)是f(x)的反函数，
（1）求函数h(x)的解析式（2）h(x)的最小值
【精解名题】
【自我测试】
1.函数 的反函数是________
2.函数 的反函数的定义域为________
3.若函数 的反函数为单调递增函数，则a的取值范围是______
4.要使函数 在[1，2]上存在反函数，则a的取值范围是_______
5.设函数f(x)的反函数为 ，且y=f(2x-1)的图像过点 ，则 的图像必过点_________
其中正确的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4
6. 若f(x)是减函数，且f(x)的反函数图像经过点A（3，0）和B（-1，3），解不等式
7.设函数 ，f(x)的图像与其反函数的图像重合
（1）求f(x)的解析式
（2）关于x的方程 是否存在负实数解？并说明理由
8.若函数 与其反函数有公共点，求实数a的取值范围
初中/高中数学备课组
教师
班级
学生
日期
上课时间
学生情况：
--------
--------
--------
主课题：反函数
教学目标：1.通过实际问题导出反函数的概念
2.会求简单有理函数（如一次函数、二次函数、幂函数和指数函数的反函数）
3．掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学重点：
1.理解反函数的概念，掌握原函数的定义域、值域与其反函数定义域、值域的关系
3.函数 的图像经过点（0，1），而它的反函数是 ，若函数 的图像经过（3，1），则函数f(x)是（）
A增函数B减函数C奇函数D偶函数
4.已知 是 上的增函数，那么a的取值范围是（）
A B C D
5.如图，定义在R上的函数y=f(x+1)是减函数，给出四个结论
（1）f(0)=1；（2） ；（3） ；（4）
③ 求域：指出或求出反函数的定义域
2. 反函数的性质
（1）原函数的定义域是其反函数的值域，原函数的值域是其反函数的定义域
（2）函数y=f(x)的图像与它的反函数 的图像关于直线y=x对称
【注】①原函数y=f(x)过点 ，则其反函数 过点 ，即
② 设函数 存在反函数，则
③ 函数y=f(x)和函数 的图像是同一图像；函数y=f(x)和函数x=f(y)的图像关于直线y=x对称
1. 反函数的概念问题
例1 判断下列命题是否正确，若不正确，请举一反例说明：
（1）函数y=f(x)的定义域为M，值域为N，则函数 的反函数是
（2）若函数f(x)有反函数，则f(x)一定为单调函数
（3）奇函数一定有反函数，偶函数一定没有反函数
（4）分段函数一定没有反函数
2.求反函数问题
例2求下列函数的反函数
6.已知函数y=f(2x-1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x-y=0对称，若 ，则 =________
7.定义在实数集上的函数y=f(-x)的反函数是 ，则（）
A y=f(x)是奇函数B y=f(x)是偶函数
C y=f(x)既是奇函数，也是偶函数D y=f(x)既不是奇函数，也不是偶函数
（1） （2）
（3） （4）
例3已知函数 和 是互为反函数，求m,n的值
3.反函数的求值问题
例4已知函数 在定义域 上存在反函数，且 ，求
例5函数 的反函数的图像经过点（4，2），求 的值
4.反函数的应用问题
例6求函数 的值域
例7已知 的反函数是 ，求证：对任意正实数 ，都有
5.反函数的图像问题
例8已知函数 的图像过点（1，2），它的反函数图像也过此点，求函数 的解析式
（2）判断 的单调性
（3）若不等式 对区间 恒成立，求实数 的取值范围
4反函数为其本身的函数称为自反函数，自反函数f(x)具有以下性质：f(x)定义域和值域相等；f(x)的图像关于直线y=x对称
【热身练习】
1.函数 的反函数是____________
2.函数 的反函数是__________
3.已知 是函数 的反函数，则 的值为_______
4.函数 （ ），它的反函数图像一定不经过第______象限
8.函数y=f(x)有反函数，则下列关于方程f(x)பைடு நூலகம்a(a为常数)的根的叙述中正确的是（）
A有且仅有一个实根B至少有一个实根C至多有一个实根D没有实根
9. 求 的反函数
10.已知函数 ，其反函数为 .若点 在反函数 的图像上（1）求a的值（2）在同一坐标系中画出f(x)和 的图像
11.已知 ，
（1）求f(x)的反函数及其定义域
2. 掌握求原函数反函数的一般方法
3. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
4.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
教学难点：
1. 掌握求原函数反函数的一般方法
2. 掌握原函数存在反函数的条件（x与y一一对应）
3.掌握原函数与其反函数图像的关系（关于直线y=x对称）
【知识精要】
（1）若点 在反函数 的图像上，求 的值
（2）如果点 是函数 与其反函数 图像上的公共点，求 的取值范围
【巩固练习】
1.已知函数f(x)的反函数 ，则方程f(x-1)=0的根为（）
A B 0 C 2 D 3
2.函数y=f(x)的反函数是y=g(x)，则函数y=f(-x)+2的反函数是（）
A B C D
1单调函数必有反函数（但存在反函数的函数不一定是单调函数），且函数与其反函数在各自的对应区间上的单调性一致
2奇函数不一定存在反函数，但奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数
3偶函数也可能有反函数，如：f(x)=0，
（2）求反函数的基本步骤
①反求：通过解方程y=f(x)，得 ，即把x用y表示出来
②交换：交换x, y的位置，即把 改写成
5.已知函数 的图像过定点（0,1），则函数f(4-x)的反函数图像必经过定点________
6.已知函数 的反函数 的图像有对称中心（-1,3），则 =______
7.设函数 ，则函数 的图像是（B）
A B
C D
8.函数y=f(x)的反函数 的图像与y轴交于点P（0,2），则方程f(x)=0在[1,4]上的根等于（）