小升初数学拓展与提高——立体几何例 2. 铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。

问：该油罐车的容积是多少立方米？( π=3.14) 内容提要板块一、基本立体图形认知板块二、立体染色及最短线路问题板块三、套模法、切片法及立体旋转问题基础知识点立体图形表面积体积6个面的面积和底面积高＝ 2a 6 2 a a3a 例3. 图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1 的正方形。

问这个直三棱柱的体积是多少？6个面的面积和底面积高黄＝2( ab ac bc) ab c abc绿两个底面积侧面积底面积高＝π22 r 2 hπr 2hr 2πrhπ底面积侧面积13底面积高例4. 下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和两个长方形组成，总面积是a ，圆柱底面半径是r 。

用a ，r 和圆周率所表示的这个半圆柱的高的式子是__________________________，体＝π2rπr l 1π32r h13πr 2h积的式子是__________________________________。

r 24使劲记住：r34π r使劲记住：π3例1. 右图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12 厘米的直棒状细吸管( 不考虑吸管粗细) 放在玻璃杯内。

当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘 2 厘米，最多能例 5. 如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。

立体图形的体露出4 厘米。

则这个玻璃杯的容积为________立方厘米。

( 取π=3 .14) （提示：直角三角积( ) 立方厘米。

形中“勾6、股8、弦10）A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5CAB第1 页共6 页例 6. 如图，厚度为0.25 毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱( 纸卷得很紧，没有空隙) ，它的外直例8．拓展：一个长方体体积462立方厘米，在它的表面涂上一层油漆，然后把它切成棱长1厘径是180 厘米，内直径是50 厘米。

这卷铜版纸的总长是多少米？( π=3.14) 米的正方体若干，长宽高为整数，这时三面都有油漆的正方体有86个，有二面油漆的正方体______个．例9. 将16 个相同的小正方体拼成一个体积为16 立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3 个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。

例7. 输液100 毫升，每分钟输 2.5 毫升。

如图，请你观察第12 分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？例10. 如图两只小蚂蚁都在一个棱长为10的正方体 A 点处，现在它们要爬向 C 点，其中一只小蚂蚁去探路，寻找一条沿正方体表面爬行的最短路线，并留下脚印，以便第二只小蚂蚁沿这条最短路线也爬到 C 点，同学们，你们能不能帮第一只小蚂蚁找到最短路线呢，这两只小蚂蚁所走的最短路线的乘积是多少呢？（提示：勾股定理）C【阶段总结1】1. 柱体的体积：底面积×高；锥体的体积：13×底面积×高。

A2. 根据展开图、三视图还原原立体图形的能力，立体图形、展开图对照分析能力。

3. 简易立体图形的画法。

例8. 右图是 4 5 6正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的例11. 如图一只小蚂蚁都在一个如图所示的长方体 A 点处，现在它要沿长方体表面爬向 C 点，同小正方体各有多少块？学们，你们能不能帮这只小蚂蚁找到最短路线呢，最短路线的长度是多少？【阶段总结2】1. 立体染色问题，例8的那个表格还记得吗？2. 立体最短线路问题，例10、例11第2 页共6 页例12. 用棱长为 1 的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示，那测试题么粘成这个立体最多需要______块小立方体，该立方体的表面积为______。

4. 一个长方体如果长增加 3 cm ，体积就增加345 cm ，如果宽增加 5 cm ，体积就增加390 cm ，如果高增加 4 cm ，体积就增加348 cm ，求原长方体的表面积。

提示图：5. 甲、乙两个圆柱形水桶容积一样大，甲桶底圆半径与乙桶底圆半径比为3: 2 ，乙桶比甲桶高 1.5例13. 如图，ABCD 是矩形，BC 6cm ，AB 10cm ，对角线AC 、BD 相交O 。

E 、F 分别是AD 与米，则乙桶的高度为。

BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？( π取3)EDAO6. 如图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙。

如果要把这个砖堆的表面涂满白色，那么，被涂上白色的砖共有块。

B CF例14. 如图，ABCD 是矩形，BC 6cm ，AB 10cm ，对角线AC 、BD 相交O 。

图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？A DO7. 从三个方向看一个立方体如下图，求H、X、Y对面分别是什么字母？XAYB CWH E HYX【阶段总结3】3. 求镂空图形表面积：组合体法、透视法等等。

求镂空图形体积：切片法，组合体法。

4. 理解圆柱体、圆锥体、圆台分别是由什么图形旋转得到的。

第3 页共6 页8. 某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4:3: 2 ，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方8. 用若干个棱长为 1 的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的视图均如图米的费用是0.9 元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4 元，一个集装箱可以节省 6.5所示，那么这个几何体至少由______个小正方体铁块焊接而成．元，则集装箱总的表面积是平方米，体积是立方米。

9. 小红把10 个棱长均为1的小正方体按如图的位置堆放，结果又把标有字母的小正方体搬走了，9. 如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3× 3 个小正方形．其边长都为1cm，假这时表面积为。

设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用______秒钟．补充训练：5. 用小立方块搭一个几何体, 使得它的主视图和俯视图如图所示, 这样的几何体只有一种吗?7. 用棱长l 厘米的小正方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的图形都如图所示，那它最少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?8.么这的立体最多可以用______块小正方体粘成．第4 页共6 页2 求不规则立体图形的表面积与体积【例6】（★★）用棱长是 1 厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？3 水位问题【例9】（★★）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为 6 厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为 2 厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【例7】（★★★）在边长为 4 厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1 厘米的正方形，洞深 1 厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．1【例10】（★★）一个高为30 厘米，底面为边长是10 厘米的正方形的长方体水桶，其中装有容积的水，2 现在向桶中投入边长为 2 厘米 2 厘米3 厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与高相齐？【例8】（★★★）如图是一个边长为 2 厘米的正方体。

在正方体的上面的正中向下挖一个边长为 1 厘米的正4 计数问题方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2 厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，【例12】有甲、乙、丙 3 种大小的正方体，棱长比是1：2：3。

如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方边长为1/4 厘米。

那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？5 三维视图的问题【例13】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm 的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。

下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。

试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。

例：第5 页共6 页WORD 文档专业资料 6、（★★）有一个正方体，边长是5. 如果它的左上方截去一个边是 5、3、2 的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？6 其他常考题型 7、（★★）如下图3 的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是 1 的正方形高 为3 的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？【例 14】（★★★）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长 方形纸板的总数之比是 1∶ 2. 用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒 . 正好将纸. 问在所做的纸盒 中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 8、（★★★）现长 40 厘20 厘米的长方形铁皮，请你用它 5 厘米的长方体无盖铁皮 盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是方厘米？ 解：如图，可有如下三种情况比较： 【例 15】左下图是一个正方体，四边形 APQC 表示用平面截正方体的截面。

请在右下方的展开图中画出四边形 焊APQC 的四条边。

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