立体几何
内容提要
板块一、基本立体图形认知
板块二、立体染色及最短线路问题
板块三、套模法、切片法及立体旋转问题
立体图形
表面积
体积
6
62⨯a ＝个面的面积和3
2a a a =⨯=⨯高底面积)
(26bc ac ab ++＝个面的面积和abc
c ab =⨯=⨯高
底面积rh
r ππ＝侧面积两个底面积222++h r h r 22ππ高底面积=⨯=⨯rl
r π＝π侧面积底面积++2h r h r 223
1
3131
ππ高底面积=⨯=⨯r
2
4r π使劲记住：3
3
4r π使劲记住：
例1
右图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为12厘米的直棒状细吸管(不考虑吸管粗细)放在玻璃杯内。
当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘2厘米，最多能露出4厘米。
则这个玻璃杯的容积为________立方厘米。
(取π=3.14)
C
A
B
例2
铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。
问：该油罐车的容积是多少立方米？(π=3.14)
例3
(2005年第十届华杯赛初赛)
图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。
问这个直三棱柱的体积是多少？
黄
绿
例4
下图是半个圆柱的表面展开图，由两个半圆和两个长方形组成，总面积是a，圆柱底面半径是
r。
用a，r和圆周率 所表示的这个半圆柱的体积的式子是
__________。
例5
(2006年香港数学奥林匹克竞赛)
如下图给出了一个立体图形的正视图、左视图和俯视图，图中单位为厘米。
立体图形的体积()立方厘米。
A.2π
B.2.5π
C.3π
D.3.5π
例6
如图，厚度为0.25毫米的铜版纸被卷成一个空心圆柱(纸卷得很紧，没有空隙)，它的外直径是180厘米，内直径是50厘米。
这卷铜版纸的总长是多少米？(π=3.14)
例7
输液100毫升，每分钟输2.5毫升。
如图，请你观察第12分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？
【阶段总结1】
1.柱体的体积：底面积×高；锥体的体积：
1
3
×底面积×高。
2.根据展开图、三视图还原原立体图形的能力，立体图形、展开图对照分析能力。
3.简易立体图形的画法。
例8
右图是456
⨯⨯正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？
例9
(2007年希望杯第五届六年级二试)
将16个相同的小正方体拼成一个体积为16立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，则3个面涂漆的小正方体最多有_________个，最少有________个。
例10
如图两只小蚂蚁都在一个棱长为10的正方体A点处，现在它们要爬向C点，其中一只小蚂蚁去探路，寻找一条沿正方体表面爬行的最短路线，并留下脚印，以便第二只小蚂蚁沿这条最短路线也爬到C点，同学们，你们能不能帮第一只小蚂蚁找到最短路线呢，这两只小蚂蚁所走的最短路线的乘积是多少呢？
C
A
例11
如图一只小蚂蚁都在一个如图所示的长方体A点处，现在它要沿长方体表面爬向C点，同学们，你们能不能帮这只小蚂蚁找到最短路线呢，最短路线的长度是多少？
【阶段总结2】
1.立体染色问题，例8的那个表格还记得吗？
2.立体最短线路问题，例10、例11
例12
(2009年希望杯第七届六年级二试)
用棱长为1的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如图所示，那么粘成这个立体最多需要______块小立方体，该立方体的表面积为______。
例13
如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O 。
E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)
例14
(2006年第十一届华杯赛决赛试题)
如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O 。
图中的阴影部分以CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？
【阶段总结3】
1.求镂空图形表面积：组合体法、透视法等等。
求镂空图形体积：切片法，组合体法。
2.理解圆柱体、圆锥体、圆台分别是由什么图形旋转得到的。
测试题
1.一个长方体如果长增加3cm ，体积就增加345cm ，如果宽增加5cm ，体积就增加390cm ，如果高增加4cm ，体积就增加348cm ，求原长方体的表面积。
2.甲、乙两个圆柱形水桶容积一样大，甲桶底圆半径与乙桶底圆半径比为3:2，乙桶比甲桶高1.5米，则乙桶的高度为。
3.如图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙。
如果要把这个砖堆的表面涂满白色，那么，被涂上白色的砖共有块。
图2第3
题图4.从三个方向看一个立方体如下图，求H 、X 、Y 对面分别是什么字母？
X H Y W
E X Y H A
第4题图
5.某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4:3:2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省
6.5元，则集装箱总的表面积是平方米，体积是立方米。
6.小红把10个棱长均为1的小正方体按如图的位置堆放，结果又把标有字母的小正方体搬走了，这时
表面积为。
第6题图
答案
1．2
90cm
2．2.7米
3．92
4．E、A、W
5．13平米，3立方米
6.32。