八年级数学竞赛试题
一．选择题（共10小题,，每小题4分，共40分）
1. 一辆汽车从湄江出发开往娄底．如果汽车每小时行使a 千米，则t 小时可以到达，如
果汽车每小时行使b ()b a >千米，那么可以提前到达娄底的时间是（ ）小时． 2. .
A at a b + B.bt a b + C.abt
a b
+ D.bt at b -
3. 分式方程()()
1112x m
x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） 4.
A.0和3
B.1
C.1和2-
D.3 5. 由下列条件可以作出唯一的等腰三角形的是（ ）
6. A.已知等腰三角形的两腰 B.已知一腰和一腰上的高
7.
C.已知底角的度数和顶角的度数
D.已知底边长和底边上的中线的长
8. ，得（ ）
9. A.(1x -(1x -(1x -+ D.(1x -
10. 当12
x +=
时，代数式()20033420052001x x --的值是（ ） 11. A.0 B.1- C.1 D.20032-
12. 若34x -<<45x -=的x 值为（ ） 13. A.2 B.3 C.4 D.5
14. 设0a b <<，224a b ab +=，则a b
a b +-的值为（ ）
15. C.2 D.3
16. 若不等式组21
1x a x a >-⎧⎨<+⎩
无解，则a 的取值范围是（ ）
17. A.2a < B.2a = C.2a > D.2a ≥
18. 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集是1
3
x <，则0bx a -<的解集是（ ）
19. A.3x >- B.3x <- C.3x > D.3x < 20. 在等腰ABC △中，AB AC =，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，
则这个等腰三角形的底边长为（ ）
21. A.7 B.11 C.7或11 D.7或10
二．填空题（共8小题，每小题5分，共40分）
22. 如图ABC △中，AD 平分BAC ∠，且AB BD AC +=，若64B ∠=︒，则C ∠= ．
23.
24. 若22013a x +=，22014b x +=，22015c x +=，
且24abc =，则111a b c bc ac ab a b c
++---的值为 ．
25. 一条线段的长为a ，若要使31a -，41a +，12a -这三条线段组成一个三角形，则a
的取值范围是 ． 26. 方程1998x y +=的整数解有 组．
27. 如图BD 是ABC △的一条角平分线，8AB =，4BC =，且24ABC S =△，则DBC △的
面积是 ．
28.
29. 若关于x 的方程
212
x a
x +=--的解为正数，则a 的取值范围是 ． 30. 关于x 的不等式332x m m -≤-的正整数解为1，2，3，4，则m 的取值范围
是 .
31. 如果21a -和5a -是一个数m 的平方根，则m 的值为 ．
三．解答题（共5小题，每小题8分，共40分）
32. 已知：在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，
若AF EF =，求证：BE AC =．
33.
34. 若关于x 的分式方程
3
11x m x x
--=-无解，求m 的值．
35. 已知有理数a ，b ，c 满足0a b c ++-=，求()2015
a c
b +-的
值.
36.某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价15元，售价20元；乙商品
每件进价35元，售价45元．
37.（1）若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进甲、
乙两种商品各多少件？
38.（2）若该商店准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品
全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少？（利润=售价﹣进价）
39.如图，已知在ABC
△中，AB AC
=，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使
BD AB
=，连接CD．求证：
1
2
CE CD
=．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D B
A
B
A
D
B
C
二．填空题（共8小题）
11、 32︒
12、1
8 13、352a << 14、 4 15、 8
16、 a ＜2且a ≠﹣4 17、12≤m ＜15 18、 81或9
三．解答题（共5小题，每小题10分，共40分）
19、证明：如图，延长AD 到点G ，使得AD=DG ，连接BG ．
∵AD 是BC 边上的中线（已知），∴DC=DB ，
在△ADC 和△GDB 中，
∴△ADC ≌△GDB （SAS ）， ∴CAD G ∠=∠，BG AC =，
∵AF EF =，∴CAD AEF ∠=∠， 又∠BED=∠AEF （对顶角相等），∴∠BED=∠G ∴BE=BG ，又BG AC =， ∴BE=AC ．
20、解：去分母得x （x ﹣m ）﹣3（x ﹣1）=x （x ﹣1），﹣mx ﹣3x+3=﹣x ，
整理得（2+m ）x ﹣3=0，
∵关于x 的分式方程
﹣=1无解，分两种情况：
（1）当此方程的解为增根时，则x=1或0， 当x=1时，2+m ﹣3=0，解得m=1， 当x=0时，﹣3=0，无解；
（2）当整式方程无解时，即当2+m=0时，方程（2+m ）x ﹣3=0无解，即m=﹣2． 综上所述，m=1或﹣2．
21．解：将等式整理配方，得)))
2
2
2
1122310a b c -+
-+
-=，
110
a -=，
220
b -=310
c -=，
∴2a =，6b =，4c =，∴()()
2015
2015
201524600.a c b +-=+-==
22、解：（1）设购进甲种商品x 件，购进乙商品y 件，
根据题意得：，解得：，
答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件；
（2）设商店购进甲种商品a 件，则购进乙种商品（100﹣a ）件， 根据题意列得：
，
解得：20≤a ≤22，
∵a 为整数，故20a =，21，22.
当20a =时，利润为：()()201520453580900-⨯+-⨯=元 当21a =时，利润为：()()201521453579895-⨯+-⨯=元 当22a =时，利润为：()()201522453578890-⨯+-⨯=元
∴当a=20时，利润最大，最大利润为900元，此时乙种商品应购进数量为100﹣20=80，
答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．
23、证明：如图，延长CE 到F ，使EF=CE ，连接FB ，
∵CE 是AB 边上的中线，∴AE=BE ， 又∵∠BEF=∠AEC ，∴△AEC ≌△BEF ， ∴FB=AC ，∠1=∠A ， ∵BD=AB ，∴FB=BD ，
∵∠3=∠A+∠ACB=∠1+∠2，即∠CBD=∠CBF ，
又∵BC 为公共边，∴△CDB ≌△CFB ，∴CD=CF=2CE ，即CE=CD ．。