第一章 随机事件与概率一、填空题1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （）=_________． 【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的积之间常见的转化关系，AB A ⊂而,所以有, ()()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出()P AB 即可.解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ，又 ()()()P AB P AB P A +=，所以 ()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的.2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则()P AB =________．【解题分析】 要求()P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB .解:由题设()()()0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=,故 ()()110.40.6P AB P AB =-=-=．本题也可利用图10-1考虑求解思路.3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________．【解题分析】 根据题设可以推出()()P A P B =,再利用事件A 和B 的独立性即可得出答案.解:由题设 ()P AB =19()1 ()P AB ()P BA = ()2注意到 A AB AB B BA BA =+=+，,所以 ()()()()()()P A P AB P AB P B P BA P B A =+=+，, 由()2有 ()()()()P A P AB P B P BA -=-, 可见 ()()P A P B = ()3又由概率的加法公式与事件A B ，的独立性，由()1及()3式，有()()()()()11P AB P A P B P A P B ==--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2119P A =-=, 于是()113P A -=±，当()113P A -=-时，得()23P A =，当()113P A -=时，得()43P A =，事件的概率不可能>1，应舍去．所以, ()23P A =.本题也可利用图10-2考虑求解思路.可以看出()()P A P B =,再利用()()()()()11P AB P A P B P A P B ==--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2119P A =-= 即可求解.图10-24．（1993年数学四）设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_______.【解题分析】本题是在抽取的两件产品中,已经知道有一件不合格品,要求另一件产品也是不合格品的概率.显然,这是一道求条件概率的题目,求条件概率一般有两种方法:公式法和缩减样本空间法.解:方法1 以A 表示事件{从10件产品中任取两件，两件都是不合格品}，以B 表示事件{从10件产品中任取两件，至少有一件是不合格品}，则所求的概率为()P A B .而 ()P A =24210C C =215，()P B =1—26210C C =23．显然A ⊂B ,故()()P AB P A ==215,由条件概率的计算公式知 ()P A B =()()P AB P B =21523= 15．方法2 缩减样本空间法．已知一件是不合格品,这时样本点总数可认为是22112106464C C C C C -+或.两件都是不合格品包含的样本点数为24C ,则()P A B =242210661305C C C ==-. 5．（1988年数学一）若在区间（0,1）内任取两个数，则事件“两数之和小于65”的概率为_______.【解题分析】这是一个几何概型问题.可利用几何概率求解.解:设x y ，表示在()01，中随机地取得的两个数，则()x y ，点的全体是如下图所示的正方形 ，而事件“两数之和小于65”发生的充要条件为65x y +<，见图10-3．图10-3根据几何概率的定义，所求概率为261417152525P x y ⎧⎫⎛⎫+<=-⨯=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭． 具有特性:1)试验的结果有无限且不可列个;2)每个结果出现的可能性相同,的随机试验称为几何型随机试验,又称几何概型.可以利用几何度量(长度、面积、体积等)来计算事件发生的可能性.其样本空间可以用一个有界区域来描述,而事件A 可以用其中的一个部分区域来描述.事件A 发生的概率为()()()L A P A L =Ω,其中()()L L A A ΩΩ与分别为与的几何度量.(留白)二、选择题1．（1987年数学三）设A B 、为两事件且()0P AB =,则( ).A .A 与B 互斥； B .AB 是不可能事件；C .AB 未必是不可能事件；D .()0P A =或P ()B =0.解：这里考查的是概率为0的事件与不可能事件之间的关系.必须注意,不可能事件的概率为零,但事件为零的概率不一定是不可能事件.比如连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0.所以()0P AB =,AB 未必是不可能事件．所以正确答案是C .2．（1989年数学三、四）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ）．A ．“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； B ．“甲、乙两种产品均畅销”； C ．“甲种产品滞销”； D ．“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 【解题分析】要想正确解答本题,只需把问题转化为事件,然后利用事件之间的关系求解即可.解:设B ＝“甲种产品滞销”，C ＝“乙种产品畅销”，则由题设A BC =，于是对立事件A 为:A =BC =B C =“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,所以正确答案是D ．3．（1991年数学三、四）设A B 和是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（ ）．A ．A 与B 不相容； B ．A 与B 相容；C ．()()()P AB P A P B =；D ．()()P A B P A -=．【解题分析】这里考查的是互不相容事件与独立事件的关系,要正确理解二者之间的关系,利用它们的关系容易求解.解:根据题设,A B 和是任意两个互不相容事件，所以AB =Φ,从而 ()0P AB =．利用公式AB AB A +=，知()()()()()P A B P AB P A P AB P A -==-=．所以正确答案为D ． 另外，由于()()00P A P B ≠≠，，C 项不可能成立.互不相容事件,对立事件及独立事件的关系是考试的一个重点, 互不相容事件和对立事件表示的是事件的属性,它们之间的关系是:对立事件一定是互不相容事件,但互不相容事件不一定是对立事件;而独立事件表示的是事件之间的概率属性,应当注意它们之间在概念上的区别.值得注意的是（A ）、（B ）两项，有人认为（A ）与（B ）是互逆的，总有一个是正项不成立.这是由于事件选取的任意性而造成的.（留白）4．（1998年数学四）设A B C ，，是三个相互独立的随机事件，且()01P C <<．则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）．A ．AB +与C ； B ．AC 与C ； C ．A B -与C ；D ．AB 与C .解：由于A B C ，，是三个相互独立的随机事件，所以其中任意两个事件的和、积、差、逆与另一个事件或其对立事件也是相互独立的，根据这一性质（A ）、（C ）、（D ）三项中的两事件是相互独立的，因而均为干扰项. 所以正确答案是B ．判断随机事件的独立性,一般有如下方法:(1)利用公式()()()P AB P A P B =,或()()P A B P A =进行判断;(2)根据独立性的实际意义进行判断，即，所谓两个事件独立,是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．如甲乙两个车间加工同种零件,A 表示甲车间生产的零件, B 表示乙车间生产的零件,一般认为A 与B 独立.有时利用(2)更为方便.本题若用相互独立的定义来判断,则比较困难,而且容易出错.因此,深刻理解概念对解题会有很大帮助. （留白）5．（2003年数学四）对于任意两个事件A B ，，有（ ）．A ．若AB ≠Φ,则A B ，一定独立； B ．若AB ≠Φ,则A B ，有可能独立；C ．若AB =Φ,则A B ，一定独立；D ．若AB =Φ,则A B ，一定不独立．【解题分析】AB 是否为不可能事件,即考查事件A B ，是否为互不相容,它与事件的独立性没有必然的联系.所以正确答案是B .如甲、乙两人独立的打篮球投篮，A 表示甲投中，B 表示乙投中，甲、乙两人可能同时投中，即A B ，同时发生；但A B ，相互独立.6．（2003年数学三）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件（ ）．A ．1A ,2A ,3A 相互独立，B ．2A ,3A ,4A 相互独立，C ．1A ,2A ,3A 两两独立，D ．2A ,3A ,4A 两两独立．【解题分析】由于若三个事件相互独立,一定两两独立, 所以, A ．成立, C 一定成立;B 成立, D 一定成立, 因此,可以先排除A ,B .只需对C ,D 进行验证.解: 因为()112P A =，()()()234111224P A P A P A ===，，．()()()()1241214P A A P A P A P A ===，(){}1314P A A P ==第一次是正面，第二次是反面＝()()13P A P A ，(){}2314P A A P ==第一次是反面，第二次是正面 ＝()()23P A P A .所以,正确答案是C .7．（2000年数学四）设A B C ，，两两独立，则A B C ，，相互独立的充分必要条件是（ ）A ．A 与BC 独立；B ．AB 与AC 独立； C ．AB 与AC 独立；D ．A B 与A C 独立.【解题分析】三个事件两两独立和相互独立,考虑的是事件之间积的关系,因此可考虑对A ，C 直接验算.解: 先证必要性，设A B C ，，为相互独立的事件，则有 ()()()()()()P ABC P A P B P C P A P BC ==, 故事件A 与事件BC 独立.反之，设A B C ，，两两独立，若A 与BC 独立，则有()()()P BC P B P C =,()()()()()()P ABC P A P BC P A P B P C ==，根据三事件A B C ，，相互独立的定义，知A B C ，，相互独立，从而正确答案是A .8．（2001年数学四）对于任意两个事件A 和B ,与A B B = 不等价的是（ ）A .AB ⊂； B .B A ⊂；C .AB =Φ；D .AB =Φ.【解题分析】本题主要考察事件的关系与运算. 可利用文氏图进行分析. 解:由于A A B AB B ⊂=⊂ 而，所以A B ,由图10-4明显可以看出,()()()A B C 、、等价,因此，正确答案为D .图10-4三、计算题1．（1996年数学三）考虑一元二次方程20x Bx C ++=，其中B C ，分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .【解题分析】本题与二次方程联系起来，但实际上仍然是古典概率问题.先求出要使方程有实根时B C ，应满足的条件,然后考察它所包含的样本点个数，求解并不困难.解: B C 、是均可取值1，2，3，4，5，6的随机变量，而且取任一值可能性均为16，当24B C ≥时，方程有实根；当24B C =时方程有重根.关键是找出满足24B C ≥和24B C =的样本点数.一枚色子（骰子）掷两次，其样本点总数为6636⨯=.方程组有实根的充分必要条件是24B C ≥或24BC ≤,易见由此可见，使方程有实根的样本点个数为1246619++++=.因此 p =1936， 方程有重根的充分必要条件是24B C =或24BC =，满足此条件的样本点共有2个，因此q =236=118. 2．（1998年数学三）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1）求先抽到的一份是女生表的概率p ；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .【解题分析】要求先抽到的一份是女生表的概率p ,它与抽到的地区有关,可考虑用全概率公式，本题关键是定义事件以及求解这些事件的概率和条件概率.解: 设{}i H i =报名表是第区考生的()123i =，，, {}j A j =第次抽到的报名表是男生的表()12j =，, 则P (1H )=P (2H )=P (3H )=13，P (1A |1H )=710, P (1A |2H )=815,P (1A |3H )=2025．(1)()1p P A ==311()(|)i ii P H P A H =∑=13(310+715+525)=2990． (2)由全概率公式得217(|)10P A H =,228(|)15P A H =,2320(|)25P A H =. 1217(|)30P A A H =,1228(|)30P A A H =,1235(|)30P A A H =.2()P A =321()(|)i ii P H P A H =∑=13(710+815+2025)=6190. 12()P A A =3121()(|)i ii P H P A A H =∑=13(730+830+530)=29. 因此，q =12(|)P A A =122()()P A A P A =2209616190=.。