递增区间：2k 对称轴：
对称性
x k

对称中心： (k , 0)
2
x k 2 对称中心： (k , 0)
对称轴：

2
y
1
2

o
1

2
3
4
x
解： f ( x) sin x cos x
2 2 2( sin x cos x) 2 2
2 sin( x ) 4
T 2
(3) f ( x) sin x 3sin x cos x
2
解： f ( x) sin 2 x 3 sin x cos x
1 cos 2 x 3 sin 2 x 2 2 1 3 1 2 sin 2 x cos 2 x (4) f ( x) 2 22x sin 2x cos 2 3cos2 2 x 2sin x 2
. o
1
.

2

.
对称轴：
2 对称中心： (k ,0) (k Z )
x k

3 2
.
2
.
x
(k Z )
（2）余弦函数 y cos x, ( x R) 是否是轴 对称图形？ 是否是中心对称图形？
y
1●
●
o
1
● 2

●
3 2
●
2
x
x k (k Z ) 对称中心： (k , 0) (k Z ) 2
值时，都有 f ( x + T ) = f ( x) 成立，那么函数 f ( x)叫做周期函数。T 叫做函数 f ( x) 的周期。 思考：正弦函数是周期函数吗？周期是什么？
sin( x + 2kp ) = sin( x) (k
∴正弦函数
Z)
y = sin x, x
R 是周期函数,
2kp 是它的周期。k
正弦函数和余弦函数的 图像与性质（三）
正弦函数、余弦函数的定义 复习1： 正弦函数： y = sin x, ( x Î R) 余弦函数：
y = cos x, ( x Î R)
y
1
.

2
0,2 上的正弦函数
o
.

.
1
3 2
和余弦函数的图像。 y
1●
●
.
2
.
x
●
o
1

●
2
3 2
●
2
最小正周期： 2
最小正周期： 2
sin( x) sin x
偶函数
cos( x) cos x
, 2k 递增区间： 2k ,2k 2 2 递减区间： k , 2k 3 递减区间： 2k ,2k 2 2 2
f ( x) 2sin(2 x ) 2sin(2 x 2 ) 6 6 2sin 2( x ) f ( x ) 6 T

结论：
函数 f ( x) A sin( x ) 的最小正周期 2 是_______。 ( A 0, 0)
所以：________是 2k
(k Î Z )
y = cos x 的周期； 其中存在一个最小的正数，当_______时， k=1 ____是 y = cos x 的最小正周期。 2
例1： 求下列函数的最小正周期：
(1) f ( x) 2sin 3x
解： f ( x) 2sin 3x 2sin(3x 2 )
1. 定义域：
y = cos x ( x
xÎ R
R)
2. 值域：
当
y ? [ 1,1]
x 2k (k Z ) 时，
ymax 1
当
x 2k (k Z ) 时， ymin 1
新课
3. 周期性： 定义：
周期函数：对于函数 f ( x) ，如果存在一个常 数 T (T 0) ，使得当 x 取定义域 D内的任意
函数 f ( x) A cos( x ) 的最小正周期 2 是________。 ( A 0, 0) 函数 f ( x) A sin( x ) 的最小正周期 2 是_______。 ( A 0, 0) | |
练习： （口答）根据上述的结论，说出下列函数的
对称轴：
y sin x
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
y cos x
R
1,1
2k
奇函数
x 2 k x 2 k

R
, ymax 1 , ymin 1

2 2
1,1
2k
x 2k , ymax 1
x 2k , ymin 1
的周期？ 为什么？ 练习：书P-88 练习 6.1（3）
4. 奇偶性： 由诱导公式：
sin(- x) = - sin( x) ？
奇函数
可以判断正弦函数的奇偶性为：
证明：对于 R 中的每一个 x ，都有 f (- x) = sin(- x) = - sin( x) = - f ( x)
所以
f ( x) = sin x 是 奇函数。
T 2
例2： 求下列函数的最小正周期： 1 2 (1) f ( x) sin (2 x) 2 1 1- cos 4 x 1 2 解： f ( x) = sin (2 x) = 2 2 2 1 1 T = - cos 4 x + 2 4 4
(2) f ( x) sin x cos x
1 1 cos 4 x sin 4 x 2 2 2 1 5 (sin 4 x cos 4 x) 2 2
2 5 sin(4 x ) 2 4 2
T

2
思考：
2 sin sin 能否成立？ 6 6 3
2 如果能成立，那么 是不是 y sin x 3
最小正周期：
(1) f ( x) 3 sin (2) f ( x) sin( x ) 2 3 6 (3) f ( x) 2 cos(

3
3 x)
1 (4) f ( x) cos ( x ) 2
2 T 3
2 2 2sin 3( x ) f (x ) 3 3 2 x T (2) f ( x) 3cos 3
解： f ( x) 3cos
x x 3cos 2 2 3 2 3 f ( x 4 ) 1 3cos ( x 4 ) 3 T 4 2
¹ 0
3. 周期性：
最小正周期：对于一个周期函数 f (x) 来说， 如果在所有的周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小的正数就叫做这个函数 f (x) 的最小正周期.
\ 2p 是 y = sin x 的最小正周期。
即：
T 2
触类旁通：
cos x cos( x 2k ) _______
递增区间： [2k , 2k ] (k R)
1 2
3 2 5 3
2
2
7 2
4
x
递减区间： [2k , 2k ] (k R)
6. 对称性： 思考：
（1）正弦函数 y sin x, ( x R) 是否是轴
对称图形？ 是否是中心对称图形？
y
1
2
3
(3) f ( x) 2sin(2 x ) 6 解：

(4) f ( x) A sin( x ) ( A 0, 0) 解： f ( x) A sin( x ) A sin( x 2 ) 2 f ( x 2 ) A sin ( x ) 2 T
由诱导公式：
cos(- x) = cos( x) ？
偶函数
可以判断余弦函数的奇偶性为：
事实上，也可以由它们的图像得到奇偶性。
4. 单调性： 由图像可得：
y
1
2 3 2 2
o
正弦函数： y = sin x ( x R) 递增区间： [2k ,2k ] (k Z ) 2 2 3 递减区间： [2k , 2k ] (k Z ) 2 2 余弦函数： y = cos x ( x R)
x
复习2：
正弦函数、余弦函数的定义域和值域 正弦函数：
1. 定义域： 2. 值域： 当 当
y = sin x ( x
xÎ R
R)
x 2k x 2k
y ? [ 1,1] 时， y

2 (k Z ) 2
max
1
(k Z ) 时， ymin 1
复习2：
正弦函数、余弦函数的定义域和值域 余弦函数：
1 sin(2 x ) 2 6
T
(4) f ( x) 2sin 2 2x sin 2x cos 2x 3cos2 2 x
解： f ( x) 2sin 2 2 x sin 2 x cos 2 x 3cos2 2 x
sin 2 x cos 2 x cos2 2 x 2