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3．3 垂径定理
反思
在定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的弧”中，为什么强调弦不是直径？
【答案】因为如果不强调弦不是直径，那么会出现两条相互平分的直径不垂直， 并且也不能平分弦所对的弧的情况．如图，弦 AB 被 CD 平分，但 AB 与 CD 不 垂直，且A︵C≠B︵C.
∴CE＝ OC2－OE2＝4，
∴CD＝2CE＝8(cm)．
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图3－3－10
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3．3 垂径定理
筑方法
类型一 运用垂径定理的逆定理解决圆中的边角问题
例1 [教材补充例题] 如图3－3－11，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC， 垂足为H，D是的中点，连结AD，OA. 求证：AD平分∠HAO.
图3－3－11
第3章 圆的基本性质
3．3 垂径定理
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第3章 圆的基本性质
第2课时 垂径定理的逆定理
学知识 筑方法
勤反思
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3．3 垂径定理
学知识
知识点一 垂径定理的逆定理1
平分弦(__不_是__直_径__)的直径_垂__直__于_弦__，并且平分__弦__所_对__的_弧___．
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3．3 垂径定理
1.如图3－3－9，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝2， DE＝8,AB的长为( B ) A．9 B．8 C．6 D．4
平分弧的直径__垂__直__平_分__弧_所__对__的_弦___．
2．如图3－3－10，AB是⊙O的直径，B是的中点，AB＝10 cm，
OE＝3 cm，则CD的长为_____8___cm.
【解析】 连结 OC，
∵AB 是⊙O 的直径，B 是C︵D的中点，
∴直径 AB⊥弦 CD，∴CE＝DE.
在 Rt△OEC 中，OE＝3，OC＝5，
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3．3 垂径定理
【归纳总结】垂径定理及其逆定理的相互关系 直径垂 直于弦
直径平分弦 （非直径）
直径平分弦 所对的弧
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3．3 垂径定理
勤反思
小结
圆的轴圆对称性 垂径定理的逆定理
定理1
定理2
平分弦（不是直径）的直径 ___垂_直__于_弦___，并且__平_分____弦 所对的弧
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平分弧的直径_垂__直_平__分_ 弧所对的弦
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3．3 垂径定理
解：(1)如图，设点 O 为圆心，连结 OA，OC，OC 交 AB 于点 D. 由题意，得 AB＝16 m，CD＝4 m，A︵C＝B︵C， 所以 OC⊥AB， 所以 AD＝12AB＝12×16＝8(m)． 设⊙O 的半径为 x m，则在 Rt△AOD 中， OA2＝AD2＋OD2，即 x2＝82＋(x－4)2， 解得 x＝10. 所以该桥拱的半径为 10 m.
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3．3 垂径定理
类型二 综合运用垂径定理及其逆定理解决问题
例2 [教材例3拓展] 有一座桥，桥拱是圆弧形(水面以上部分)，测
量时只测到桥下水面宽AB为16 m(如图3－3－12)，桥拱最高
处点C离水面4 m.
(1)求该桥拱的半径；
(2)若大雨过后，桥下水面宽度为12 m， 则水面涨高了多少？
图3－3－12
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3．3 垂径定理
证明：连结OD，交BC于点E. ∵D是的中点，∴OD⊥BC. 又∵AH⊥BC，∴OD∥AH， ∴∠ODA＝∠DAH. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠OAD＝∠DAH， ∴AD平分∠HAO.
【归纳总结】借助垂径定理的逆定理添加辅助线的思路
(1)连结圆心与弦的中点；(2)连结圆心与弧的中点．
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3．3 垂径定理
(2)设水面上涨到 EF 位置(如图)． 此时 EF＝12 m，EF∥AB，有 OC⊥EF(设垂足为 M)， 所以 EM＝12EF＝12×12＝6(m)． 连结 OE，则有 OE＝10 m， 所以 OM＝ OE2－EM2＝ 102－62＝8(m)． 又因为 OD＝OC－CD＝10－4＝6(m)， 所以 OM－OD＝8－6＝2(m)， 即大雨过后，水面涨高了∴CD＝10， ∴OB＝OC＝5，OE＝5－2＝3. ∵直径 CD 过弦 AB 的中点 E， ∴CD⊥AB，∴AE＝BE. 在 Rt△OBE 中，∵OE＝3，OB＝5， ∴BE＝ OB2－OE2＝4， ∴AB＝2BE＝8.
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图3－3－9
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3．3 垂径定理
知识点二 垂径定理的逆定理2