C q u
（2）电容（元件）VCR形式一
（3）电容（元件）VCR形式二
（2）电容（元件）VCR形式一
q = cu 由于 i dq
dt
线性时不变 电容元件
i
C
+
u
图形符号
李 5-3
-
故得 i C du
①
dt
u、i 应为关联参考方向。
电容（元件）的VCR之一，以u表示i。
李 5-4
例 1F的电容，若u如图（a），则i如图（b）
都必须服从两类约束。对动态电路来说，还需包含动态元件的 VCR。
§1 电容元件的VCR
§2 电容的储能 状态变量
§3 电容与电感的对偶性（duality）
李 5-2
§1 电容元件的VCR
（1）电容元件是实际电容器(real capacitor) 的模型。
它只具有存储电荷、从而存储电场能量的作用。 其参数为电容C：
t
i( )d
C0
u(0)累计了t=0以前所有时刻i的作用,称为电容的初始电压。
李 5-7
上式可写为 u(t) u(0) u1(t)
t0
设u(0)=U0 ,t≥0时电容的等效电路为
a i(t)
+
u-(t)
b
c u(0)=U0
a i(t)
+
uc(t) +
- U0-
b
+
-
u1(t) u1(0)=0
i( 2 ) 1A i( 3 ) 1 A 2
李 5-18
例： 已知:i(0)=0和uL(t)，L=1H，求 iL(t)并画波形。
u(V1)
0 123 1
解：分段求积分：
3-4： i(
t
)

i(
3
)

t
3
(


4
)d
4 t(s)
1 t 2 4t 8 2
i( 4 ) 0
i(A)
+
a
t≥0的等效电路如图， 代表初始电压源的极性、 数值是已知的，与i无关。 C部分的u1和i的参考方向
是非关联的。
习题课
李 5-22
习题2
已知2H电感的电流波形如图所示，
试求电压波形。设u、i为关联参考方向。
i波形图上 t=6s 时，i=3.5A。
i/A
6 3
1
0 123456
t/s
答案
李 5-23
是动态元件；
(c)当 u 为常数(直流)时，i =0。电容相当于开路，
电容有隔断直流作用；
(d)实际电路中通过电容的电流 i 为有限值， 则电容电压 u 必定是时间的连续函数。
u
du i dt
0
t
电容电压的连续性质
（continuity property）
李 5-6
（3）电容（元件）VCR形式二

i(t0 )

1 L
t
ud
t0
p ui
1
u(t) u(t0 ) C
t
id
t0
p ui
0 0 0 0
习题课
李 5-20
习题1 已知u(0)=4V，则该电容t≥0时的VCR为
a C ib
- u+
A.
u 4 1
t
id
C0
C.
u 4 1
wc

1 2
cu
2
(t
2
)

1 2
cu
2
(t1
)
李 5-13
当 u(t2 ) u(t1) ， 电容充电，吸收电能
当 u(t1) u(t2) ， 电容放电，释放电能
总结：
李 5-14
电容是储（电场）能元件。其储能为：
wC
t

1 2
CuC 2 t
某一时刻t 的电容电压反映同时刻储能状况，电容电压 的连续性和记忆性均来自电容的储能本性。
电容电压属动态电路分析中的状态（state）变量。
它满足： （a）给定初始状态[即uc(0)]和所有t≥0的输入[即i(t)]就能 确定在t≥0时的状态[即uc(t)]。
（b）由状态变量可确定电路中任一变量。见下章。作为 状态变量，uc是分析含电容动态电路时的主要对象。
§3 电容与电感的对偶性（duality）
2H
1Ω
2Ω
+
+
2A
2V
1F
-
4V
-
答案
李 5-25
习题3 答案
解 电路在直流电源长久作用下，电感看作短路， 电容看作开路，如图所示。
1Ω
2Ω
- 2A
+
+
+
2V-
4V
-
1Ω电阻的功率： P1 2A2 1Ω 4W
2Ω电阻的功率：P2 2V2 /2Ω 2W
李 5-26
例题
已知电容C=4F，对所有t、i(t)波形如图所示，
电容电压u(t)与i(t)参考方向关联。
李 5-8
i/A
试求：(1) u(0)； (2) u(t)、t≥0；
3
(3) u(1)和u (－ 0.5)；
2
(4) 作出t≥0时该电容的等效电路。
1
解 （1）根据已知条件，t≤0时
仅在－1≤t≤0时，i(t)=2A。 -1 0 1 2 3 t/s
u (t )
udu

dt
u ( )
1 cu 2 u(t) 1 cu 2 (t) 1 cu 2 ()
2
2 u( )
2
一般地认为在 t = -∞时刻，u(-∞)=0。因此电容能量 的表达式可写成：
w(t) 1 cu2 (t) 2
从t1 ~ t2时刻，电容吸收的能量为：
①电感电压u 的大小取决于i 的变化率, 与 i 的大 小无关，电感是动态元件；
②当i为常数(直流)时，u =0。电感相当于短路；
③实际电路中电感的电压 u为有限值，则电感电流 i 不能跃变，必定是时间的连续函数.电感电流是 动态电路分析中的状态（state）变量。
李 5-17
例： 已知:i(0)=0和uL(t)，L=1H，求 iL(t)并画波形。
t
id
C0
B.
u 4 1
t
id
C0
D.
u 4 1
t
id
C0
答案
李 5-21
习题1 答案
解 与教案中例题不同，此处u(0)的成因不详，
也无需且不可能追究。其极性已如图中所示，
其值为4V，已成定局。但t≥0时，i、u的参考
方向为非关联的，故应选B项。
b
-+
4V
-
Ci
- u1 +
习题3 答案（续1）
解
电感储存能量：WL

1 2
Li2

1 2H2A2
2

4J
电容储存能量： WC

1 Cu 2 2

1 1F4V2
2

8J
电路总共储存能量为4J+8J=12J。该项能量 是电源接入时，由电源提供的。在电源持续作用 下，这能量始终储存在电路内，其值不变，故PL 和PC均为零。
对偶关系
C
L
uC
iL
iC
uL
iC
C
duC dt

uC

uC
0

1 C
t
0 iC d

wC

1 2
Cu
C
2

uC为状态变量

uL

L
diL dt
Байду номын сангаас iL
iL 0
1 L
t
0 uL d
wL

1 2
LiL
2
iL为 状 态 变 量
李 5-15
李 5-16
iL
+
u (t)
表明
-
u(t) L di(t) dt
5 cos 2t 63.4 A
2V电压源功率：2V3A 6W消耗6W
功率平衡关系：
提供功率 消耗功率
8W+4W=12W
功率平衡。
6W+2W+4W=12W
习题课
李 5-28
习题4 已知uc(t)=cos(2t)V、C=1F、R=1Ω， 受控源电压u(t)=2ic(t)，求uR(t)、is(t)。
R
iS
+ ic + uR- +
u/V 图(a)
1
i/A
图(b)
i C du dt
2
0
0.5
t/S
0
0.5
t/S
表明
（a）u、i 波形不同。特别是当u为直流电压时，
i =0。 波形不同，除正弦波等少数例外，为动态元件
一般规律。
表明
李 5-5
(b)某一时刻电容电流 i 的大小取决于电容电压 u
的变化率,而与该时刻电压 u 的大小无关。电容
（3）求： u(1)和u (－ 0.5)
u 1 0.5 0.751
1.25V
t 0.5s属t 0, 故 得
u 0.5 1
0.5
2dt 0.25V
4 1
例题 (续)
（4）作出t≥0时该电容的等效电路
i1(t)