数列知识点-——-求通项一、由数列的前几项求数列的通项:观察法和分拆与类比法-—-—-猜测———-证明（略）二、由a n 与S n 的关系求通项a n例1已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ＝3n －1，则它的通项公式为a n ＝________。

答案2·3n －1练1 已知数列｛a n ｝的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为________． 答案a n ＝错误!三、由数列的递推公式求通项例3、（1）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =,13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;答案： 13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(2）（4)在数列{}n a 中,11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠)．（Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式；答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩(3）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；答案:(1)2nnn a n λ=-+21212(1)22(1)(1)n n n n n n S λλλλλ+++--+=+-≠- 1(1)22(1)2n n n n S +-=+-λ=(4）已知数列{}n a 满足：()213,22n n a a a n n N *+=+=+∈（1）求数列{}n a 的通项公式； （2)设1234212111n n nT a a a a a a -=+++，求lim n n T →∞答案： 11,,.1,111n n q q q a n q-≠=⎧-+⎪=-⎨⎪⎩注意：由数列的递推式求通项常见类型（请同学们查看高一笔记)1.)(1n f a a n n +=+ 2 . n n a n f a )(1=+.3 q pa a n n +=+1（其中p,q 均为常数，)0)1((≠-p pq )。

4 . ()n f pa a n n +=+1(1） 。

n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ）。

（或1nn n a pa rq +=+，其中p ，q, r 均为常数）（2）b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p 5。

递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s,t 满足⎩⎨⎧-==+q st pt s6、 递推公式为n S 与n a 的关系式.（或()n n S f a =）7、rn n pa a =+1)0,0(>>n a p8。

)()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ 9。

q pn a a n n +=++1或nn n pq a a =⋅+1 10.双数列型数列知识点————求和问题一、掌握数列求和的常见方法:1.公式法求和：（1）等差数列 11()(1);22n n n a a n n S na d +-==+(2)等比数列 11111111 .() n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2。

错位相减法:主要用于求数列{}n n a b 的前n 项和,其中{}n a 、{}n b 中一个为等差数列,另一个为等比数列.3.裂项相消法：一般适用于通项为11n n a a +的前n 项和，其中{}n a 为等差数列.常见的裂项技巧有：1111(1)()(()11111(3)()(21)(21)221211111(4)(1)(2)2(1)(1)(2)k n n k k n n kk n n n n n n n n n n n =-++=-=--+-+⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦其中为整数）4。

倒序相加法：5.分类相加法:将数列适当拆分,重新组合,变成几个可以求和的部分再分别求和。

6.分奇数项，偶数项求和二、例题巩固 例1.求和：21111(1)(11)(4)(7)(32)n n a a a-++++++++- 22222(2)sin 1sin 2sin 3sin 88sin 89︒+︒+︒++︒+︒解:13131(1)11212-n n +)n a -a n -)n a =;a ,+a -≠（（时，时89(2)2例2．求和S n ＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!。

解：S n ＝2错误!＝错误!＋2n －2.例3．（08安徽卷）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

解：（Ⅰ）n a n =。

(Ⅱ)12(1),12(1),11(1)n n n n n p T p p np p p p ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩例4．在数列｛a n }中,a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n 错误!。

(1）求S n 的表达式;（2)设b n ＝S n 2n ＋1，求{b n ｝的前n 项和T n 。

解 (1) S n ＝错误!。

（2） T n ＝错误!错误!＝错误!.例5．正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，满足2210n n n a a S -+=（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记1n nb S =，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：1)n T >解：（1）n a =n N +∈）数列知识点--—-数列的单调性例1、已知函数()2)f x x =<-．（1）求()f x 的反函数1()f x -；(2）设11,a =)(111n n a f a -+-= （n ∈N *),求n a ；（3）设22212n n S a a a =+++，21n n n b S S +=-否存在最小正整数m ，使得对任意n ∈N *，有25n mb <成立？若存在，求出m 的值;若不存在，说明理由．例2、．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+,*n ∈N ． （Ⅰ）设3nn n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围．解：（Ⅰ)13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N ．(Ⅱ）所求的a 的取值范围是[)9-+∞，．例3．设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--（1）证明对任意012)1(]2)1(3[51,1a a n n n n n nn ⋅-+⋅-+=≥-；（2)假设对任意1≥n 有1->n n a a ，求0a 的取值范围.解： a 0的取值范围为).31,0(数列知识点--—-数列的综合应用一、数列与函数的综合应用例1(2012·南昌模拟）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＊，点(n ，S n ）均在函数y ＝b x ＋r （b ＞0且b ≠1，b ,r 均为常数）的图象上． （1)求r 的值；(2）当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n(n ∈N *），求数列｛b n ｝的前n 项和T n 。

解：（1）r ＝－1.(2)∴T n ＝错误!－错误!－错误!＝错误!－错误!。

练1 （2011·福建)已知等比数列｛a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝错误!. (1）求数列｛a n }的通项公式；（2)若函数f （x ）＝A sin(2x ＋φ）（A ＞0，0＜φ＜π）在x ＝错误!处取得最大值,且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解 （1） a n ＝13×3n －1＝3n －2。

(2)函数f (x ）的解析式为f (x )＝3sin 错误!.二、数列与不等式的综合应用例2、设数列{a n }的前n 项和S n ,=34a n -31⨯2n+1+32,n=1,2，3,…。

（I)求首项a 1与通项a n ;(II)设T n =nnS 2, n=1,2，3，…..,证明：231<∑=i n i T解：（Ⅰ）,24nn n a -= n=1,2，3，…，练2在数列||n a ,||n b 中，a 1=2,b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列(n ∈*N ）(Ⅰ)求a 2,a 3,a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…． 解:（Ⅰ）2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．练3.数列{}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足(Ⅰ）求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++证明：当162.n n S n≥-<时，解 （Ⅰ）{}n a 的通项公式为*2*21,21(N ,22,2(N .n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩三、数列与解析几何的综合应用（点列问题）例3如图，从点P 1(0，0)作x 轴的垂线交于曲线y=e x 于点Q 1(0,1），曲线在Q 1点处的切线与x 轴交与点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1,Q I ；P 2,Q 2…P n ，Q n ，记k P 点的坐标为(k x ，0）(k=1，2，…,n ）。

(Ⅰ）试求k x 与1k x -的关系(2≤k ≤n ）;（Ⅱ）求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++ 解（Ⅰ）11(2)k k x x k n -=-≤≤.( Ⅱ)112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++11111n ne e e e e -----==--四、数列与三角交汇例4（2011·安徽) 在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，n ≥1. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan +⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S 。