数列不等式题目39. 已知函数f (x ) =ln(2-x ) +ax 在开区间（0，1）内是增函数.（1）求实数a 的取值范围；（2）若数列{a n }满足a 1∈(0, 1), a n +1=ln(2-a n ) +a n (n ∈N *), 证明：01x -2+a , f (x ) 在（0，1）内是增函数. ………………1分1x -2+a >0在x ∈(0, 1) 时恒成立. 即a >-1x -2∴f '(x )>0在x ∈(0, 1) 时恒成立，即在x ∈(0, 1) 时恒成立. ………………3分1x -212, ∴121x -2（2）证明：由题设知，当n=1时，a 1∈(0, 1).假设当n =k 时，有a k ∈(0, 1), 则当n =k +1时，有a k +1=ln(2-a k ) +a k . ………8分记g (x ) =ln(2-x ) +x , 则g '(x ) =1x -2+1在x ∈(0, 1) 上恒有g '(x ) >0.∴g (x ) 在区间（0，1）上是单调增函数………………10分又 a k +1=g (a k ) =ln(2-a k ) +a k , 且0∴ln(2-0) +0又ln 2>0, ∴000,∴a n +1-a n =ln(2-a n ) >0, 即a n +1>a n . 综上，得06．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n } 的前n 项和为S n ；(Ⅲ) 令c n =a n +1n +1n n -1a n -1+2n ⋅3n -2(n ≥2, n ∈N ) ．*(n ∈N ) ，数列{*2c n (c n -1)n n -1的前n 项和为T n ．求证：对任意n ∈N ， 2*都有 T n6．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求数列{a n } 的前n 项和为S n ；a n -1+2n ⋅3n -2(n ≥2, n ∈N ) ．*(Ⅲ) 令c n =a n +1n +1(n ∈N ) ，数列{*2c n (c n -1)2的前n 项和为T n ．求证：对任意n ∈N ，*都有 T nn n -1a n -1+2n ⋅3a n n -a 11n -2知，a n n=a n -1n -12+2⋅3n -2，n -2由累加法，当n ≥2时，=2+2⨯3+2⨯3+ +2⨯3代入a 1=1，得n ≥2时，又a 1=1，故a n =n ⋅3n -1（III ）c n = a n +1n +1na n n1-3*．．．．．．．．．．．．．．．4分(n ∈N ) ．． =1+2(1-3n -1)=3n -1=3n 2n当n ≥2时，2⨯3(3-1)≤+2⨯3nn n(3-1)(3-3) 2⨯3222=2⨯3n n 2n -1n -1(3-1)(3n-1) 12-=132n -1-1-13-112n. 13-13所以当n ≥2时T n =＋ +(且T 1= 1n -1321(3-1)+ +12⨯3(3-1)≤32+() +(3-1-)332-1-3-1n) =2-3-1n故对n ∈N *，T nS n (b n +2b n -b n +1) +b n +1b n =0.22nS n . 数列{b n }满足b 1=b 2=1.（I ）求{a n },{b n }的通项公式；a n =4n ，b n = （II ）求证：b 1+b 2+ +b n6．已知数列{a n }中，a 1=1，且a n =(Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ) 求数列{a n } 的前n 项和为S n ；(Ⅲ) 令c n =a n +1n +1n n -12n +42nn -1a n -1+2n ⋅3n -2(n ≥2, n ∈N ) ．*(n ∈N ) ，数列{*2c n (c n -1)的前n 项和为T n ．求证：对任意n ∈N ， 2 *都有 T nn n -1a n -1+2n ⋅3a n n -a 11n -2知，a n n=a n -1n -12+2⋅3n -2，n -2由累加法，当n ≥2时，=2+2⨯3+2⨯3+ +2⨯3代入a 1=1，得n ≥2时，a n n=1+2(1-3n -1)1-3=3n -1又a 1=1，故a n =n ⋅3n -1(n ∈N *) ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（III ）c n =a n +1n +1n=3n 2n当n ≥2时，2⨯3(3-1)≤+2⨯3nn n(3-1)(3-3) 2⨯32=2⨯3n n 2n -1n -1(3-1)(3n-1) 12-=132n -1-1-13-112n. 13-13所以当n ≥2时T n =＋ +(且T 1= 1n -1321(3-1)+ +1(3-1)≤32+(13-1) +(3-1-)332-1-3-1n) =2-3-1n故对n ∈N *，T nS n (b n +2b n -b n +1) +b n +1b n =0.22nS n . 数列{b n }满足b 1=b 2=1.（I ）求{a n },{b n }的通项公式；a n =4n ，b n = （II ）求证：b 1+b 2+ +b n⎧a +2⎫（II ）证明：⎨ln n ⎬是等比数列；⎩a n -2⎭2n +4252nn 2n -1a n +b n2，a n +1=， b n +1=2a n b n a n +b n（Ⅲ）设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n⎝⎛4⎫⎪ 3⎭（I ）由已知a 1=4，a 2=b n =4a n52，所以b 1=1， a n +1b n +1=a n b n = =a 1b 1=4， +2a n，∴a n +1=a n 2用数学归纳法证明a n >2 （ⅰ）当n =1时，a 1>2． *（ⅱ）假设当n =k (k ∈N ) 时，a k >2则当n =k +1时， a k +1-2=(a k -2)22a ka n 2>0， a k +1>2*根据（ⅰ）和（ⅱ）知a n >2对所有n ∈N 成立于是a n +1-a n =+2a n-a n =4-a n 2a n2即2（II ） a n +1+2=∴lna n +1+2a n +1-2(a n +2)2a n=2ln2，a n +1-2=(a n -2)2a n2，a n +1a n +1+2⎛a n +2⎫= ⎪ -2⎝a n -2⎭2a n +22⎧a +2⎫，⎨ln n ⎬是等比数列a -2a n -2n ⎩⎭（Ⅲ）a n +1-2=(a n -2)2a n，⎛11⎫1，a n +1-2= -a -2a -2≤()(a n -2) ⎪n n +14⎝2a n ⎭111⎫⎛∴(a 1-2)+(a 2-2)+ +(a n -2)≤2 1++2+ +n -1⎪ 444⎭⎝1⎫⎛2 1-n ⎪1⎫84⎭8⎛⎝== 1-n ⎪13⎝4⎭31-44⎫⎛∴S n3⎭⎝5、设集合W 由满足下列两个条件的数列{a n }构成：①a n +a n +22②存在实数M ，使a n ≤M . （n 为正整数）（I ）在只有5项的有限数列{a n },{b n }中, 其中a 1=1, a 2=2, a 3=3, a 4=4, a 5=5; b 1=1, b 2=4, b 3=5, b 4=4, b 5=1；试判断数列{a n },{b n }是否为集合W 的元素；（II ）设{c n }是等差数列，S n 是其前n 项和，c 3=4, S 3=18, 证明数列{Sn }∈W ；并写出M 的取值范围；（III ）设数列{d n }∈W , 且对满足条件的常数M ，存在正整数k ，使d k =M . 求证：d k +1>d k +2>d k +3.解：（I ）对于数列{a n }，当n=1时，=2=a 2, 显然不满足集合W 的条件，①2故{a n }不是集合W 中的元素， a 1+a 3…………2分对于数列{b n }，当n ∈{1, 2, 3, 4, 5}时，不仅有b 3+b 3b 1+b 32=3b 2+b 42=42显然满足集合W 的条件①②，故{b n }是集合W 中的元素.…………4分（II ） {c n }是等差数列，S n 是其前n 项和，c 3=4, S 3=18, 设其公差为d ，∴c 3-2d +c 3-d +c 3=18.∴d =-2∴c n =c 3+(n -3) d =-2n +10, S n =-n +9n2…………7分∴S n +S n +22S n +S n +22-S n +1=-192) +2S n =-(n -814,∴S n 的最大值是S 4=S 5=20,即S n ≤S 4=20.∴{S n }∈W ，且M 的取值范围是[20, +∞)…………9分（III ）证明：{d n }∈W , ∴d k +d k +2整理d k +2d k +1+d k +3又∴d k +12>d k +2>d k +3.3、x n +1=4x n -2x n +14965，n =0,1, 2, ，写出{x n }的所有项；（Ⅰ）若x 0=（Ⅱ）确定x 0的值，使{x n }是一个无穷的常数数列；（Ⅲ）若对∀n ∈N +，都有x n353a n 2a n +1，a n +1=, n =1, 2, ．⎧1⎫-1⎬为等比数列；（1）求证：数列⎨⎩a n ⎭（2）记S n =1a 1+1a 2+1a n，若S n（3）是否存在互不相等的正整数m , s , n ，使m , s , n 成等差数列，且a m -1, a s -1, a n -1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．（1）∵1a n +11a 1=23+13a n，∴1a n1a n +1-1=13a n*-13，………………………2分且∵-1≠0，∴-1≠0(n ∈N ) ，……………………………3分⎧1⎫-1⎬为等比数列．…………………………………4分∴数列⎨⎩a n ⎭（2）由（1）可求得1a n-1=1n -111n⨯() ，∴=2⨯() +1．…………… 5分 33a n 32S n =++ +=n +2(+2+ +n ) =n +2⋅a 1a 2a n 33311111111-3-1n +1=n +1-13n，…7分若S n13n n（3）假设存在，则m +n =2s , (a m -1) ⋅(a n -1) =(a s -1) 2，………………10分∵a n =3n n3+23+23+23+2化简得：3m +3n =2⋅3s ，………………………………………13分mns，∴(n-1) ⋅(3mm-1) =(3ss-1) ．……………12分2∵3+3≥2⋅=2⋅3，当且仅当m =n 时等号成立．………………………15分又m , n , s 互不相等，∴不存在．…………………………………………16分ax n x n +15、已知首项为x 1的数列{x n }满足x n +1=（a 为常数）。