专题1.4 数列与不等式总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分） 一、单选题1．【2018届四川省成都外国语学校高三11月月考】已知全集为R ,集合2{|0.51},{|680}x A x B x x x =≤=-+≤,则C A B ⋂=RA. (],0∞-B. []2,4C. [)()0,24,∞⋃+D. ][()0,24,∞⋃+ 【答案】C2．在等比数列{}n a 中,151,4a a =-=-,则3a = A. 2± B. 2± C. 2 D. 2- 【答案】D【解析】由等比数列的性质可得23154a a a ==,因为151,4a a =-=-,所以3 2.a =-选D.3．【2018届天津市滨海新区大港油田第一中学高三上期中】若a 、b 、c∈R，则下列命题中正确的是（ ） A. 若ac>bc ，则a>b B. 若a 2>b 2，则a>b C. 若11a b<，则a>b D. 若a b >，则a>b 【答案】D【解析】若ac>bc ，则c>0时 a>b ；若2a >2b ，则|a|>|b|；若11a b<，则a>b 或a<0<b; 若a b >，则a>b ，所以选D.4．【2018届山东省枣庄市第三中学高三一调】已知均为正实数，且，则 的最小值为（ ）A. B. C. D.【答案】C5．【2018届北京丰台二中高三上期中】若n S 是数列{}2n 的前n 项和，则83S S -=（）． A. 504 B. 500 C. 498 D. 496 【答案】D 【解析】83S S -45678a a a a a =++++458222=+++L163264128256=++++ 496=．故选D ．6．关于x y 、的不等式组360,{20, 40,x y x y x y +-≥--≤+-≤则2z x y =+的最大值是（ ）A. 3B. 5C. 7D. 9 【答案】C【解析】作可行域，如图，则直线2z x y =+过点A （1,3）取最大值7,选C.7．【2018届广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上第五次联考】在各项均为正数的等比数列{}n a中，若5114a a =，6128a a =，则89a a =（）A. 12B. 32C. 62D. 42 【答案】D8．已知等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.则q =（ ） A. 2-或12 B. 12- C. 2或12D. 2- 【答案】C 【解析】由题意得()23432428{22a a a a a a ++=+=+，即()231112311128{ 22a q a q a q a q a q a q++=+=+，消去1a 整理得22520q q -+=，解得2q =或12q =．选C ．9．在等比数列{}n a 中，166n a a +=，2132256n n a a a a --+=，且前n 项和126n S =，则n =（）A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C【解析】∵2132112256n n n a a a a a a --++==， ∴1128n a a =， 由11128{66n n a a a a =+=，解得12{64n a a ==或164{2n a a ==①当12{64n a a ==时，()111264126111nnn a q a a q q S q qq---====---，解得2q =，∴6n =．②当164{2n a a ==时，()111642126111nnn a q a a q q S qq q ---====---，解得12q =，∴6n =．综上6n =．选C ．10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且51050,200S S ==，则1011a a +的值为（） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】D11．【2018届安徽省六安市第一中学高三上第五次月考】己知121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，122a ab +则的值是（） A.52或52- B. 52- C. 52 D. 12【答案】C【解析】由题意得21225,4a a b+==，又2b与第一项的符号相同，故22b=．所以12252a ab+=．选C．12．【2018届黑龙江省牡丹江市第一高级中学高三10月月考】已知数列{}n a为等差数列,若11101aa<-,且其前n项和nS有最大值,则使得0nS>的最大值n为A. 11B. 19C. 20D. 21【答案】B二、填空题（4*5=20分）13.【2018届上海市十二校高三联考】若等差数列{}n a的前5项和为25，则3a=________【答案】5【解析】由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：153533255525,522a a aS a a+=⨯=⨯==∴=.14．【2018届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试】若241a b+=，则2a b+的最大值为__________．【答案】-2【解析】24a b+=222212212222224a b a b a b a b+++=≥⋅=∴≤1422log2a b∴+≤=-当11,2a b=-=-时取等号故答案为-2.15．【2018届江苏省兴化市三校高三12月联考】已知实数,x y 满足220{40 10x y x y y --≥+-≤-≥，则yx的最小值为__________． 【答案】13【解析】联立220{40x y x y --=+-=得交点A ()2,2，联立220{ 10x y y --=-=得交点B 3,12⎛⎫⎪⎝⎭，联立40{10x y y +-=-=得交点C ()3,1即可行域是由ABC 三点围成的三角形及其内部，令z yx= 表示点(),x y 与()0,0连线的斜率，故最小值为13OC k = 故答案为1316．在圆x 2＋y 2＝5x 内，过点53,22⎛⎫⎪⎝⎭有n 条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项a 1，最长弦长为a n ，若公差11,63d ⎛⎤∈⎥⎝⎦，那么n 的取值集合为________. 【答案】{}4,5,6 【解析】由已知52x ⎛⎫-⎪⎝⎭2＋y 2＝254， 圆心为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，半径为52，得a 1＝2×225322⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2×2＝4，a n ＝2×52＝5， 由a n ＝a 1＋(n －1)d ⇔n ＝1d＋1， 又16<d≤13， 所以4≤n<7，则n 的取值集合为{4,5,6}．三、解答题（共6道小题，共70分）17.【2018届全国名校高三第三次联考】某市垃圾处理站每月的垃圾处理成本y （元）与月垃圾处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+，求该站每月垃圾处理量为多少吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低？最低平均处理成本是多少？【答案】该站垃圾处理量为400吨时，才能使每吨垃圾的平均处理成本最低，最低成本为200元18．已知正项等比数列{}n b （*n N ∈）中，公比1q >，且3540b b +=，35·256b b =，2log 2n n a b =+. （1）求证：数列{}n a 是等差数列. （2）若11·n n n c a a -=，求数列{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）见解析；（2）39nn +. 【解析】试题分析：（1）由3540b b +=，35·256b b =可知3b ，5b 是方程2402560x x -+=的两根，再根据公比1q >，求出3b ,5b ，即可求出数列{}n b 的通项公式，结合2log 2n n a b =+，以及等差数列的定义即可证明数列{}n a 是等差数列；（2）由（1）可求出数列{}n c 的通项公式，结合数列特点，根据裂项法求和，即可求出数列{}n c 的前n 项和n S . 试题解析：（1）由353540{·256b b b b +==，，知3b ,5b 是方程2402560x x -+=的两根，注意到1n n b b +>，得38b =，532b =，因为2534b q b ==，所以2q =或2q =-（不可题意，舍去）.所以312824b b q ===，所以212n n n b b q -==，22log 2log 222n n n a b n =+=+=+. 因为()][11221n n a a n n -⎡⎤-=++-+=⎣⎦， 所以数列{}n a 是首项为3，公差为1的等差数列. （2）因为()3112n a n n =+-⨯=+，所以()()123n c n n =++，所以()()111344523n S n n =+++⨯⨯++L 111111344523n n =-+-++-++L 39nn =+. 19．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .【答案】(1)13,1{ 3,1n n n a x -==>；(2)13631243n nn T +=-⨯.【解析】试题分析：(1)由递推关系可得a 1＝3，利用通项公式与前n 项和的关系可知：当n>1时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n－1，则a n ＝3n －1，综上可得：13,1{3,1n n n a x -==>；(2)结合(1)中求得的通项公式错位相减可得{b n }的前n 项和13631243n nn T +=-⨯. 试题解析：(1)因为2S n ＝3n＋3， 所以2a 1＝3＋3，故a 1＝3， 当n>1时，2S n －1＝3n －1＋3，此时2a n ＝2S n －2S n －1＝3n－3n －1＝2×3n －1，即a n ＝3n －1，显然a 1不满足a n ＝3n －1，所以a n ＝(2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝， 当n>1时，b n ＝31－nlog 33n －1＝(n －1)·31－n，所以T 1＝b 1＝.当n>1时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n －1)×31－n]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n －1)×32－n]，两式相减，得2T n ＝＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n)－(n －1)×31－n＝＋－(n －1)×31－n＝－， 所以T n ＝－.经检验，n ＝1时也适合． 综上可得T n ＝－.20．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，11a =，点()1,n n S a +在直线31y x =+上，*N n ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设41log n n b a +=，n n n c a b =+，n T 是数列{}n c 的前n 项和，求n T ．【答案】（1）14n n a -=；（2）2111143223n n n ⋅++-. 【解析】试题分析：（1）由()1,n n S a +在直线31y x =+上可得，131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得{}n a 为等比数列，从而得出{}n a 的通项公式；（2）求出4log 4nn b n ==，利用分组求和法以及等差数列的求和公式与等比数列的求和公式可得出n T .试题解析：（1）由题知131n n a S +=+，所以()1312n n a S n -=+≥，两式相减得()132n n n a a a n +-=≥，又21314a a =+=，所以{}n a 是以1为首项，4为公比的等比数列．14nna-=（2）4log4nnb n==，14nnc n-=+，所以()1141142nnn nT+-=⋅+=-2111143223n n n⋅++-.21．【2018届上海市十二校高三联考】设{}n a是首项为1a，公比为q的等比数列，n S为数列{}n a的前n项和.（1）已知22a=，且3a是13,S S的等差中项，求数列{}n a的通项公式；（2）当11,2a q==时，令()4log1n nb S=+，求证：数列{}n b是等差数列.【答案】（1）12nna-=或()21nna=⋅-（2）见解析.试题解析：（1）由题意23132{2aa S S==+，122111112{2a qa q a a a q a q=⇒=+++12{1qa=⇒=或11{2qa=-=-所以12nna-=或()21nna=⋅-（2）由题意得21nnS=-()412n nnb log S⇒=+=2n≥时，因为111222n nn nb b---=-=所以数列{}n b 是公差为12的等差数列. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，满足2n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在正整数n ，使53n T <? 若存在，求出符合条件的所有n 的值构成的集合A ；若不存在，请说明理由.【答案】(1)112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2){}1,2A =.【解析】试题分析：（1）由和项与通项关系可得项之间递推关系，再根据等比数列定义可得数列{}n a 的通项公式；（2）由错位相减法可得n T ，再化简不等式得1434n n -<+，根据指数函数与一次函数图像可得n 的值（2）由（1）知，214n n n n b na -==， 记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则22123114444n n n n n T ---=+++++L ，① 3231442444n n n n n T ---=+++++L ，② ②-①得321111354444n n n n n T ---=++++-L ，当1n =时，17<，当2n =时，410<，当3n =时，1613>，结合函数14x y -=与34y x =+的图象可知，当3n >时都有1434n n ->+，所以 {}1,2A =.。