河北省唐山一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1．已知集合A ={x |y =x -2}， B ={y |y =x -2}，则A ∩B = （ ） A ．∅B ．RC ．(-∞，2]D ．[0，2]2．“a =2”是“1(0,),18x ax x∀∈+∞+≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知i 是虚数单位，(1+2i )z 1=-1+3i ，z 2=1+10)1(i +，z 1、z 2在复平面上对应的点分别为A 、B ，O为坐标原点，则⋅= （ ） A ．33B ．-33C ．32D ．-324. 已知实数[]1,9x ∈，执行如右图所示的流程图， 则输出的x 不小于55的概率为（ ） A.58B.38C.23D.135．在各项均为正数的等比数列}{n a ， 若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列}{n a 的前n 项积为nT ，若21512m T -=，则m 的值为A ．4B ．5C ．6D ．76．已知点P 是△ABC 的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、 重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2AP ·22BC AC AB =-， 则点P 一定是△ABC 的（ ）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心7．对于函数f (x )=x 3cos3(x +6π)，下列说法正确的是 （ ）A ．f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递减B ． f (x )是奇函数且在（6π6π，-）上递增C ． f (x )是偶函数且在（6π0，）上递减D ．f (x )是偶函数且在（6π0，）上递增316a >-63516a -<<-65a >-63516a -≤≤-8．一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体，余下的几何体的三视图（如图所示），则余下部分的几何体的表面积为A ．532323++ππ＋1 B ．523323++ππ＋1 C ．53233++ππ D ．52333++ππ 9.若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组2000-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．]2,(--∞C ．]2,2[-D ．),2[]2,(+∞⋃--∞10．已知Ｐ是抛物线24x y =上的一个动点，则点Ｐ到直线1:4370l x y --=和2:20l y +=的距离之和的最小值是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 11.函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范 围是( )A. B. C. D.12.已知a b <，若函数()(),f x g x 满足()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰，则称()(),f x g x 为区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①()()2,1f x x g x x ==+； ②()()sin ,cos f x x g x x ==； ③()()234f xg x x π==； ④函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在． 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13. 已知7270127()x m a a x a x a x -=++++的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++= .14. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为 ．15. 已知21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左右焦点，P 为双曲线左支上的一点，若a PF PF 8122=，则双曲线的离心率的取值范围是 ．16. 已知函数),()(R b a xbax x f ∈+=,有下列五个命题 ①不论,a b 为什么值,函数)(x f y =的图象关于原点对称; ②若0a b =≠,函数)(x f 的极小值是2a ,极大值是2a -;③若0ab ≠,则函数)(x f y =的图象上任意一点的切线都不可能经过原点;④当0ab ≠时,函数)(x f y =图象上任意一点的切线与直线y ax =及y 轴所围成的三角形的面积是定值.其中正确的命题是 _________ (填上你认为正确的所有命题的序号) 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分12分）在数列}{n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈.(1)求证: }{n a n -是等比数列; (2)令n n nn S a b ,2=为数列}{n b 的前n 项和,求n S 的表达式.18.（本题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．（1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列．19. （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，060ABC ∠=，22AB CB ==．在梯形ACEF 中，EF ∥AC ，且=2AC EF ，EC ⊥平面ABCD ． (1)求证：BC AF ⊥；(2)若二面角D AF C --为045，求CE 的长．20. （本小题满分12分）已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2经过椭圆Γ∶)0(12222>>=+b a by a x (a>b>0)的右焦点F 和上顶点B.(1)求椭圆Γ的方程；(2)如图，过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求⋅的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数错误！未找到引用源。
其中e 是自然数的底数，错误！未找到引用源。
. (1)当错误！未找到引用源。
时，解不等式错误！未找到引用源。
； (2)若错误！未找到引用源。
上是单调增函数，求a 的取值范围；(3)当0=a ，求使方程错误！未找到引用源。
上有解的所有整数k 的值.22. （本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 经过点()1,0P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=.(1)若直线l 与曲线C 有公共点，求a 的取值范围： (2)设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围.参考答案1-5 DAABB 6-10 BCADC 11-12 DC 13.1 14.π8 15.]3,1( 16. ①③④17.解：(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n a n --=-⨯=-,所以2nn a n =-,12n n n b =-所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n nS b b b n =+++=-+-++-=+++-令212222n n n T =+++,则2311122222nn nT +=+++,两式相减得2311111111122222222n n n n n n nT ++=+++-=--,所以222n n n T +=-,即222nn n S n +=--18.解：（1）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为．∴应从四所中学抽取的学生人数分别为． …………… 4分（2）设“从50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从50名学生中随机抽取两名学生的取法共有2501225C =种，… 5分 来自同一所中学的取法共有22221520105350C C C C +++=． …………… 6分∴3502()12257P M ==． 答：从50名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为27． … 7分 （3）由（1）知，50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10． 依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， ………… 8分2102253(0)20C P C ξ===，1115102251(1)2C C P C ξ===，2152257(2)20C P C ξ===．…… 11分 ∴ξ的分布列为： … 12分19.20.22.解析： (I)将曲线C 的极坐标方程26cos 50ρρθ-+=化为直角坐标方程为22650x y x +-+=直线l 的参数方程为()1cos sin x t t y t θθ=-+⎧⎨=⎩为参数将1cos sin x t y t θθ=-+⎧⎨=⎩代入22650x y x +-+=整理得28cos 120t t θ-+=直线l 与曲线C 有公共点，3[0,)θπ∴(II)曲线C 的方程22650x y x +-+=可化为()2234x y -+=其参数方程为()()32cos M ,2sin x x y y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数为曲线上任意一点，。