北京市昌平一中高三上学期期中考试（数学理） [10月28日]本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分.考试时间150分钟. 第Ⅰ卷（选择题共40分） 注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在相应位置上.2．每小题选出答案后，把答案填写在机读卡上.如需改动，用橡皮擦干净后，再选填其他答案标号.一、本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}lg 0A x x =>，{}220B x x x =-<，则A B ⋂= ( )A ．{}210x x << B ．{}110x x << C ．{}12x x << D ．{}02x x <<2. 已知p ：关于x 的不等式220x ax a +-≥的解集是R ，q ：01<<-a ，则p 是q 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件3. 函数xx g x x f -=+=122)(log 1)(与在同一直角坐标系下的图象大致是( )A B C D4. 从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )A ．186种B ．31种C ．270种D ． 216种 5. 等差数列{na }中，，数列02211273=+-a a a {nb }为等比数列，且77b a =，则86b b 的值为（ ）A ．2B ．4C ．8 D.166. 右图是函数2()f x x ax b =++的部分图象，则函数的零点所在的区间是( )A ．B ．C ．D ．7．设,a b R ∈，若33是3a 与3b 的等比中项，则ba 22+的最小值是( )()ln ()g x x f x '=+11(,)42(1,2)1(,1)2(2,3)A ． 6B ．42C ． 22 D. 26 8. 函数f (x)的定义域为D ，若对于任意，当时，都有，则称函数在D 上为非减函数 . 设函数f (x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ○1； ○2； ○3.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m科网则等于（ ）高.考.资.源.网A. B. 高.考.资.源.网 C ．1 D. 高.考.资.源.网第Ⅱ卷(填空题解答题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 执行右边的程序框图，输出的T=10的展开式中的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________. (用数字作答)高.考.资.源.网11. 满足不等式组，则目标函数3z x y =+的最大值为12. 如下图是北京奥运会吉祥物“福娃”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃”，则(5)f = ；()f n = ．(填数字或解析式）12,x x D12x x 12()()f x f x ()f x (0)0f 1()()32xf f x (1)1()f x f x 11()()38f f 341223522()xx 2x ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x13. 设曲线在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为,令，则的值为14. 对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如右图的方式“分裂”，仿此，52的“分裂”中最大的数是__________，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m 的值为__________.三、解答题：本大题共6道题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()3||g x x =-的定义域为集合B . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求AB 和AB ； （2）若{}AC p x x C ⊆<+=,04|，求实数p 的取值范围.16.（本小题满分13分）已知数列{na }满足120n n a a +-=，且23+a 是42,a a 的等差中项.（Ⅰ）求数列{na }的通项公式na ；（Ⅱ）若nb =12132log na +，12nn S b b b =++⋅⋅⋅+,求n S的最大值.17. （本小题满分13分）一个袋中有大小相同的标有1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回），记下标号。
若拿出球的标号是3的倍数，1*()n y x n N +=∈n x lg n n a x =1299a a a +++则得1分，否则得分.（1）求拿4次至少得2分的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）求拿4次所得分数的分布列和数学期望.18. （本小题满分13分）在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，1(0)AB PA BC a a ==>.(Ⅰ)当1a =时，求证：BD PC ⊥；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥， 求此时二面角Q PD A --的余弦值.19. （本小题满分14分）已知数列}{n a 是等差数列,18,652==a a ，数列}{n b 的前n 项和是Tn,且.121=+n n b T（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）求证数列}{n b 是等比数列；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m1-ξ ABQ DCP（3）记nn n b a c ⋅=，求证：.1n n c c ≤+20. （本小题满分14分）已知，其中是自然常数，（1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.昌平一中高三年级理科数学期中测试题答案9. 30 10. 10 243 11. 412. 41 2221n n -+ 13. -2 14. 9 15三、解答题x xx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=e .a R ∈1=a ()f x 1()()2f x g x >+a ()f x a15. 解：(1)依题意，得{}2|20A x x x =-->，{}|3||0B x x =-≥ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m|{x A =∴1-<x 或2>x } |{x B =33≤≤-x }∴A∩B=|{x 13-<≤-x 或}32≤<x ，A ∪B=R.(2)由04<+p x 得4p x -<，而A C ⊆14-≤-∴p4≥∴p . 16. （Ⅰ）∵120n n a a +-=，即12n na a +=，∴数列{na }是以2为公比的等比数列。
∵23+a 是42,a a 的等差中项，∴24324a a a +=+，∴1112884a a a +=+，∴12a =，∴数列{n a }的通项公式2nn a =。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）由（Ⅰ）及nb =12132log na +，得132n b n=-令1320n -≥则 6.5n ≤ ∴ 当16n ≤≤时，0n b >，当7n ≥时，n b <∴当6n =时，nS 有最大值，636S =17. 解（1）设拿出球的号码是3的倍数的为事件A ，则，，拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。
，，（2）的可能取值为，则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m；； ；；；分布列为31)(=A P 32)(=A P 818)32()31(3341==C P 811)31(42==P 9121=+=∴P P P ξ4,2,0,2,4--8116)32()4(4==-=ξP 8132)32)(31()2(314==-=C P ξ8124)32()31()0(2224===C P ξ818)2(==ξP 811)4(==ξP ∴18. 解：(Ⅰ)当1a =时，底面ABCD 为正方形，∴BD AC ⊥又因为BD PA ⊥,BD ∴⊥面PAC …………………………3分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又PC ⊂面PACBD PC ∴⊥…………………………4分(Ⅱ) 因为AP AD AB ,,两两垂直，分别以它们所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，如图所示，令1AB =，可得BC a = 则)1,0,0(),0,,1()0,,0(),0,0,1(P a C a D B (5)设m BQ =，则)0)(0,,1(a m m Q ≤≤要使QD PQ ⊥，只要0)(1=-+-=⋅m a m 即210m am -+=………7分 由0∆=2a ⇒=，此时1m =。
所以BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥时，Q 为BC 的中点，且2=a …………………………9分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m设面PQD 的法向量)1,,(y x =则00p QD p DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即⎩⎨⎧=+-=+-0120y y x 解得)1,21,21(=…………………………11分 取平面PAD 的法向量)0,0,1(=则〉〈.的大小与二面角Q PD A --的大小相等所以66.cos ==〉〈qp q p q p w.w.w.k.s.5.u.c.o.m因此二面角Q PD A --的余弦值为66…………………………13分4381148182812408132)2(81164-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=ξE19. （1）由已知⎩⎨⎧=+=+.184,611d a d a 解得 .4,21==d a .244)1(2-=⨯-+=∴n n a n ………………4分（2）由于nn b T 211-=， ① 令n=1，得.21111b b -= 解得321=b ，当2≥n 时，11211---=n n b T ②①－②得 n n n b b b 21211-=-， .311-=∴n n b b 又0321≠=b , .311=∴-n n b b ∴数列}{n b 是以32为首项，31为公比的等比数列.……………………8分（3）由（2）可得.32n n b =……9分 n n n n n n n b a c 3)12(432)24(-=-=⋅=………10分.3)1(163)12(43)12(4111+++-=--+=-n n n n n n n n c c1≥n ，故.01≤-+n n c c .1n n c c ≤∴+……………………14分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m20. （Ⅰ），……1分∴当时，，此时单调递减 当时，，此时单调递增 ……3分 ∴的极小值为 ……4分（Ⅱ）的极小值为1，即在上的最小值为1，∴ ，……5分令，， ……6分当时，，在上单调递增 ……7分x x x f ln )(-=x x x x f 111)(-=-='10<<x /()0f x <()f x e x <<1/()0f x >()f x ()f x 1)1(=f ()f x ()f x ],0(e 0)(>x f min ()1f x =21ln 21)()(+=+=x x x g x h x xx h ln 1)(-='e x <<00)(>'x h ()h x ],0(e∴w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ∴在（1）的条件下，……9分（Ⅲ）假设存在实数，使（）有最小值3，…① 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值. ……10分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增，，满足条件. ……12分③ 当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值. ……13分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m综上，存在实数，使得当时有最小值3. ……14分min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+==1()()2f x g x >+a x ax x f ln )(-=],0(e x ∈/1()f x a x=-x ax 1-=0≤a )(x f ],0(e 31)()(min =-==ae e f x f e a 4=)(x f e a <<10)(x f )1,0(a ],1(e a 3ln 1)1()(min =+==a a f x f 2e a =e a ≥1)(xf ],0(e 31)()(min =-==ae e f x f e a 4=)(x f 2e a =],0(e x ∈()f x。