高考模拟数学试卷本试卷共4页，分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分，考试时间l20分钟．第I 卷(选择题共50分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．一、选择题：本大题共l0小题。
每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数2满足z(1+i)=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是(A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l)2．设全集U=R ，集合A={|21x x >}，B={|15x x -≤≤}，则U ()A B I ð等于(A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5]3．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4．若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3)3x y -+±=(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(3)4x y -+±=5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为(A) 1007(B) 1008(C) 2013(D) 2014(A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 217．函数||x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是8．三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为(A) 3π (B) 32π (C) 3π (D) 12π9．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,, 1.b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是(A)(-2，1) (B)[0，1](C)[-2，0) (D)[-2，1)10．如图，已知直线l ：y=k(x+1)(k>0)与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是(A)13 (B) 23 (C) 223(D) 22第Ⅱ卷 (非选择题共100分)注意事项：将第Ⅱ卷答案用0．5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
1 1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3，4)，则cos2α= ．12．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为13．若x 、y 满足条件2102101x y x y y x --≤⎧⎪++≥⎨⎪≤+⎩，则z=x+3y 的最大值是 .14．已知a>b>0,ab=1，则22a b a b+-的最小值为 ． 15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈)成中心对称；②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数；③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--；④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈)上单调递增．其一中所有正确结论的序号为三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应寓出文字说明．证明过程或演算步骤．16．(本小题满分l2分)已知函数()sin cos f x x x =+．(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m=(a ，b)，n=(f(C),1)且m//n ，求B ．17．(本小题满分12分)如图，底面是等腰梯形的四棱锥E —ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AB=2CD ，∠ABC=3π． (I)设F 为EA 的中点，证明：DF//平面EBC ；(II)若AE=AB=2，求三棱锥—CDE 的体积．18，(本小题满分l2分)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为l50，边界忽略不计)即为中奖．乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖．问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?19．19．(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和21n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n n n n b n a na ++=+-g ，且13b =． (I)求n a ，n b ；(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ．20．(本小题满分13分)已知函数3()f x x x x =--．(I)判断()f x x的单调性； (Ⅱ)求函数()y f x =的零点的个数；(III)令2()lng x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围；21．(本小题满分14分)已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为0x -=．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A 、B 两点．(I)求椭圆E 的方程；(II)若点P 为椭圆的左顶点，2PG GO =u u u r u u u r ，求22||||GA GB +u u u r u u u r 的取值范围；(Ⅲ)若点P 满足|PA|=|PB|，求证222112||||||OA OB OP ++为定值.高考模拟数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题只有一项是符合题目要求的1.若复数11i z i +=-，z 为z 的共轭复数，则()2017z = （ B ） A. i B. i - C. 20172i - D. 20172i2.已知全集U R =，集合{}260A x x x =--≤，401x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭,那么集合()U A C B =I （ D ） A. [)2,4- B. (]1,3- C. []2,1-- D. []1,3-3.已知定义在R 上的函数f （x ）=2|x|，记a=f （log 0.53），b=f （log 25），c=f （0），则a ，b ，c 的大小关系为（ B ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a4．某程序框图如右图所示，其中21()g x x x =+，若输出的20162017S =，则判断框内应填入的条件为（ A ）A.2017n <B.2017n ≤C.2017n >D.2017n ≥5.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ A ）A. 25B. 12C. 43D. 65 6．如图，格纸的小正形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何的体积为( B )A ．25B ．27 C ．432+ D ．333+ 7. 命题px ∈R 且满足sin2x=1.命题qx ∈R 且满足tanx=1.则p 是q 的（ C ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件8.为得到函数22cos 3sin 2y x x =-的图象，只需将函数2sin 21y x =+的图像（ C ）A ．向左平移π12个长度单位B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移5π12个长度单位 D ．向右平移5π12个长度单位 9．已知直线l ：320x y -+=与圆224x y +=交于A ，B 两点，则AB u u u r 在x 轴正方向上投影的绝对值为（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 410.在直角ABC ∆中,090,1BCA CA CB ∠===,P 为AB 边上的点AP AB λ=u u u r u u u r ,若PB PA AB CP ⋅≥⋅,则λ的最小值是( B ) A. 1 B. 222- C. 22D. 2 11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A B 、，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB 上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ D ）A ．32B ．312-C ．352+D ．352- 12.已知函数kx x f =)( )1(2e x e≤≤，与函数2)1()(x e x g =，若)(x f 与)(x g 的图象上分别存在点N M ,， 使得MN 关于直线x y =对称，则实数k 的取值范围是（ B ）．A. ],1[e e - B. ]2,2[e e - C. )2,2(e e - D. ]3,3[e e-第Ⅱ卷二． 填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，其中第16题第一问2分，第二问3分。
13．已知双曲线的右焦点F 为圆03422=+-+x y x 的圆心，且其渐近线与该圆相切， 则双曲线的标准方程是 2213x y -= ． 14．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__8______时，{}n a 的前n 项和最大.15．已知球O 的球心到过球面上三点A 、B 、C 的截面的距离等于球半径的一半，且3AB =，tan 3ACB ∠=-，则球O 的体积为 323π ． 16．函数()y f x =图像上不同两点()()1122,,,M x y N x y 处的切线的斜率分别是,M N k k ，规定(),M N k k M N MNϕ-= (MN 为线段MN 的长度)叫做曲线()y f x =在点M 与点N 之间的“弯曲度”.①函数()31f x x =+图象上两点M 与点N 的横坐标分别为1和2, (),M N ϕ=9210 ； ②设曲线()32f x x =+上不同两点()()1122,,,M x y N x y ，且121x x ⋅=，则(),M N ϕ的取值范围是3100⎛ ⎝⎦， . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题12分）已知向量)1,(cos -=x a ρ，)21,sin 3(-=x b ρ，函数()()2f x a b a =+-r r rg ．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知函数()f x 的图象经过点)21,(A ，c a b 、、 成等差数列，且9AB AC ⋅=u u u r u u u r，求a 的值.17.试题解析：()()2f x a b a =+-r r r g 2||2-⋅+=b a a ρρρ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=62sin 2sin 232cos 21πx x x ……3分） （1）最小正周期：22T ππ==， ………………………………（4分） 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得：()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈所以()f x 的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈; …………………………（6分）（2）由1()sin(2)62f A A π=+=可得：5222()666A k k k Z πππππ+=++∈或所以3A π=, ……（8分）又因为,,b a c 成等差数列，所以2a b c =+， 而1cos 9,182AB AC bc A bc bc ⋅===∴=u u u v u u u v……………………（10分） 222221()4cos 111223612b c a a a a A bc +--∴==-=-=-， 32a ∴=. …………（12分）（18）（本小题满分12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：消费次第 第1次第2次第3次第4次5≥次收费比例10.95 0.90 0.85 0.80消费次第 第1次第2次第3次第4次第5次频数60 20 10 5 5（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；（3）设该公司从至少消费两次会员中，用分层抽样方法抽出8人, 再从这8人中抽出2人发放纪念品,求抽出2人中恰有1人消费两次的概率．18：解（1）P=25….3分 （2）公司获得的平均利润为45元……6分（3）P=1628=47…….12分19．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ．点E 是PC 的中点． （Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ；（Ⅱ）已知平面PCD ⊥底面ABCD ，且PC=DC ．在棱PD 上是否存在点F ，使CF ⊥PA ？请说明理由．解：（1）证明：取PD 中点Q ，连结AQ 、EQ ．∵E 为PC 的中点，∴EQ ∥CD 且EQ=CD ．…又∵AB ∥CD 且AB=CD ，∴EQ ∥AB 且EQ=AB ．…∴四边形ABED 是平行四边形， ∴BE ∥AQ ．…又∵BE ⊄平面PAD ，AQ ⊂平面PAD ， ∴BE ∥平面PAD ．…6分（2）解：棱PD 上存在点F 为PD 的中点，使CF ⊥PA ， ∵平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD ∩底面ABCD=CD ，AD ⊥CD ， ∴AD ⊥平面PCD ，∴DP 是PA 在平面PCD 中的射影， ∴PC=DC ，PF=DF ，∴CF ⊥DP ，∴CF ⊥PA ． 12分20.（本题满分12分） 已知抛物线C 22(0)xpy p =>的准线为L ，焦点为F ，M e 的圆心在y 轴的正半轴上，且与x轴相切，过原点作倾斜角为6π的直线n ，交L 于点，交M e 于另一点B ，且（ 1 ） 求M e 和抛物线C 的方程;（ 2 ） 过L 上的动点Q 作M e 的切线，切点为S .T ，求当坐标原点O 到直线ST 的距离取得最大值时，四边形QSMT 的面积.解：20、（1）准线L 交轴于，在中所以,所以，抛物线方程是(3分)在中有,所以所以⊙M 方程是： (6分)（2）解法一设所以切线；切线 (8分)因为SQ和TQ交于Q点所以和成立所以ST方程： (10分)所以原点到ST距离，当即Q在y轴上时d有最大值此时直线ST方程是 (11分)所以所以此时四边形QSMT的面积 (12分)说明：此题第二问解法不唯一，可酌情赋分．【注】只猜出“直线ST方程是”未说明理由的，该问给2分利用ＳＭＴＱ四点共圆的性质，写出以ＱＭ为直径的圆方程的得2分两圆方程相减得到直线ＳＴ方程得４分；以后步骤赋分参照解法一．21.（本题满分12分）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最小值．解：21.（1）∵f（x）=x+alnx，∴f′（x）=1+，∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，∴k=f′（x）|x=1=1+a=2，解得a=1． 3分（2）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）=，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．7分（3）∵g（x）=lnx+﹣（b﹣1）x，∴g′（x）==0，∴x1+x2=b﹣1，x1x2=1，∴g （x 1）﹣g （x 2）=ln ﹣（﹣）∵0＜x 1＜x 2，∴设t=，0＜t ＜1，令h （t ）=lnt ﹣（t ﹣），0＜t ＜1， 10分则h′（t ）=﹣＜0，∴h （t ）在（0，1）上单调递减，又∵b ≥，∴（b ﹣1）2≥，∵0＜t ＜1，∴4t 2﹣17t+4≥0，∴0＜t ≤，h （t ）≥h （）=﹣2ln2，故所求的最小值为﹣2ln2． 12分选做题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。