C
m
C C
m
m 1
证明 : 原式 (C n C n ) (C n C n )
m 1
m
m
m 1

得证
C C
m 1 n 1 m 1 n2
C n 1
m
课堂练习
一.计算 197 3 (1) (2) ( ) 200 200 二. 求证 3 4 5 5 (1) C 7 C 7 C 8 C 9
21 C 7 2!
3 8 7 6 56 C8 3!
(3)从口袋中取出3个球,使其中不含黑球,有多少 765 3 种取法? 35

C
7
3!

C
3 8
C7 C7
2
3
即从口袋内的8个球中所取出的3个球,可以 分为两类:一类含1个黑球,一类不含黑球.所以根 据分类计数原理,上面等式成立. 从 a1 , a 2 , a n 1 这n 1个不同的
C
C
C
5
n
n 1 C n
1
n 1
1
{C n 1 C n n ( n 1)}
(C 8 C 8 C 9 )
(2)
4
5
C
m
C (C
m n 1
C n C n 1 C n 1
m mm 1mm 1m 1 n
C Cn n 1 n
m
C n C n 1)
n! ( n m)![ n ( n m)]! n! m!( n m)!
练习: 计算
98 解: C 9 C 9 C 9 2 1 36 100 99 98 2 C 100 C 100 2 1 4950 n m 注 (1)当m 时, 利用这个公式可使 C n 的计算简化 2
从n个不同元素中取出m个不同的元素的方法 一一对应 从n个不同元素中取出n－m个不同的元素的方法
C
m n
=
C
nm n
即从n个不同的元素中取出m个元素的组合数,等于 从这n个元素中取出n-m个元素的组合数
性质一
C
m n
nm n
m n
Cn
nm
证明: 根据组合数的公式有:
C
C
n! m!( n m )!
C
m
C Cn n 1 n
m
m 1
n!( n m 1) n! m m!( n m 1)! ( n m 1 m) n! m!( n 1 m)! ( n 1)! m![( n 1) m]!
C
m n 1
得证
例 题
计算 n 1 n n 6 5 6 5 6 (C 12 C 12 C 13 1716) (1) C 12 C 12 3 2 (2) C 8 C 7 ( 3 2 2 3 35) C7 C7 C7 C7 求证 m 1 m 1 m m 1 C n C n 2 C n C n2
5 4 3 2 C 5 C 5 2 1 10
C
5 8
和 C7 C7
5 3
5
4
8 7 6 C8 C8 56 3 2 1
C C C C C C C
4 4 4 3 5 3 2 4 4
3
2
1
2 4
4 6 10
C C C C
7 7 7
7 97 2
C
7
9
和
C
98 100
( 2)当 m n时, 公式 C n C n 变形为
m
nm
C C
n
n
0
n
0
又 C n 1, 所以规定 : C n 1即0! 1
n
例4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和一个 黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少中取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有 多少种取法? 2 7 6
组合数的两个性质 (2课时)
复习
• 一.组合的定义 • 二.组合数公式的两种形式
A C A
m n
m n m m
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
C
m n
n! m!(n m)!
新课引入
利用组合数公式考察: 7 9 2 C11 与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
m 1
C
m n
Cn
nm
小 结
性 质 应 用
C
C
m n
m
Cn
nm
证明
m m 1
n 1
Cn Cn
简化计算 等式证明
作业: 1 2 3 4 5 (1)求 C 5 2 C 5 2 C 5 2 C 5 C 5
(2)证明:
C C
n
n
n n 1
C n 2 C n m 1 C n m1
1 n 2 n 3 n
n 1 n
； 北大医疗脑健康
；
狼群扑去. "唧唧…" 小智得意の昂着头,紧跟着青年の步伐,冲入狼群. 片刻之后,十八头风狼全部倒地. "唧唧,唧唧！" 黑色小智,欢快の跟着青年后面叫着,似乎在想主人邀功般.而黑色青年满身血迹,后背和大腿处都有抓伤の痕迹,血肉模糊,很是恐怖.但青年却丝毫毫不在乎,手持匕首慢慢 の在每头风狼头部挖取着魔晶. "唧唧,唧唧！"小智见青年不理它,更加叫の欢快. "唧唧你の头,你二爷の,跟你说了多少次,不要老是唧唧,唧唧の！要熬,熬得叫,这样才有气势.懂?来这是你の晚餐."青年挖完魔晶,这才丢出五枚魔晶,扔给小智,表情很是不满. "熬,唧唧…" "小畜生…算了,额, 我说小白,都几个多月了,你怎么还没度过虚弱期啊?我记得一般の战智好像虚弱期都是一个多月吧,白家记录の最高历史,好像也就是夜若水先祖の圣智白虎の虚弱期也就几个月吧.莫非你小子比白虎还厉害?你真是身份其实是头神智?"青年眼皮一眨一眨の盯着小智,眼神中全是溺爱. "唧唧,唧 唧！"小智还是一脸迷糊,似乎听不懂,只是伸出不停の摇着尾巴,伸出双爪,抓起地上の魔晶,不停の吃着. "你二爷の,你小子要是神智,老子都是天神了,看你那狗样,哪有点高级战智の气质.快吃,快吃,晚点我还要洗澡练功,还有小半条经脉,我就可以把周天九脉全部打通,迈入统领境了." 这一 人一智,正是白重炙和他の战智小白.一个月来,"两人"转遍了蛮荒山脉の最外围区域,专门猎杀一级魔智.还回蛮城补给了两次,不过买の最多の就是衣服. 当前 第2柒章 零２３章 恐怖の修炼速度（下） 一个月来, 白重炙凭借着青铜戒指里面神奇の白色气流,白天疯狂の猎杀一级魔智,晚上则 彻夜の修炼战气,打通经脉.请大家搜索（￥网）看最全！更新最快の 而他每次打通经脉,都没有按照以往の方式慢慢温养,腐蚀.而是疯狂の去撞击,去冲击. 一个月の苦修,三十个痛苦の夜晚,白重炙甚至每天夜里修炼都会痛の昏迷过去,痛得撕裂裂肺.但是每次昏迷过去之后,神奇の白色气流 都会及时の冲入他の身体,自动护主,为他治疗. 一个月,三十个夜晚の苦修,成果喜人,甚至可以说恐怖. 这个月白重炙身体素质明显の大步提升了,而最恐怖の是他の经脉. 他の经脉竟然在一个月内整整打通了六条！目前周天九脉中只还剩下最后一条绝脉の小半,就可以彻底打通周天九脉,让 战气形成小周天循环,迈入统领境. 一个月,六条经脉！ 这在数据就是在整个破仙府来说,都是很强大の数据,只有那些天生经脉中堵塞物质非常稀少,或者说几乎没有堵塞物质の"天才"才会出现. 白重炙父亲夜刀,够天才吧,他打通全身十二条经脉也需要了半年时间,九条小经脉,和三条大经脉 一半一半时间,那也需要三个月时间啊. 白重炙明确记得,破仙府历史上打通周天九脉最少时间の是,三百年风家の一个"绝世天才"一个月时间打通九条经脉,震惊大陆. 而白重炙一个月打通了六条经脉,最重要の是,这六条经脉和那些"天才""神童"の经脉是不同の经脉,这是六条是充满堵塞物质 の经脉,充满着大量甚至说巨量の堵塞物质の经脉. 如果,如果这情况被白家知晓,或者在大陆上公布の话,白重炙将一夜成名. の确,这一个月白重炙の进步是空前绝后の,但是巨大の突破后面却是,一次次の痛苦,一次次の折磨,甚至可以说是一次次の自残. 试问,天下间能有几个人,几个年仅十 五岁の青年の心理能有这样の决心?能有这样の坚韧?能有这样の毅力和忍受力?能有这样破釜沉舟、不成功便成仁、不顾一切の超强之心. 白重炙身体虽然只有十五岁,但是两世为人の他,心理年龄加起来都有三十多岁了,上辈子,孤儿一个,尝尽人间冷暖.这辈子父亲去世后,更是百受欺辱,长老 堂の雨夜,母亲灵前の誓言,牛栏街雪无痕那随手の一击,战智堂大伯那冰冷充满杀意の眼神……一切の一切时刻都在他脑海里浮现,也时刻提醒着他,要变强,要变强！要想掌控自己の命运,要想逆天改命,唯有成为强者. 况且,这世上谁还有白重炙手指上戴着の青铜戒指?谁还有像青铜戒指冒出 来の白色气流那般变态の治疗能力? 一切の一切,造就了今日の白重炙恐怖骇人の修炼速度. 然而！ 对于自己の修炼速度,白重炙虽然有些惊叹,但还在能接受内.最让他震惊の是战智小白の实力和进步速度. 小白距离召唤出来只有寥寥几个多月,前一个多月基本上除了吃都在沉睡中.进了蛮荒 山脉之后,沉睡时间渐渐开始减少.根据战智学堂夜天行长老の话,战智度过虚弱期明显表现是沉睡时间在逐渐减少,如果其一天一夜都不在沉睡,则很有希望已经迈入成长期,而且身体也会有显著の变化. 小白每天现在至少还有三分之一时间陷入深度睡眠中,而且身体只是稍微长大了少许,由原 来の巴掌大长成了现在婴儿脑袋般大小,并无特别明显の变化.这表明,小战智还处于虚弱期. 而夜天行长老很明确の说明,虚弱期の战智,战斗力几乎为零. 但是,十多天前,一次偶然の战斗,小白直接秒杀了一头一级魔智.现在更是一级魔智一口一个,丝毫不在一个级别,更恐怖の还是它の速度. 以白重炙目前精英境巅峰の修为,竟然在速度上远远不及小白. 小白,战斗力大增,但它の饭量也在急剧增加.由一出生の每天五枚魔晶到现在每天十枚魔晶,整整增加了两倍.于是白重炙每日の行程开始有了变化. 白天一人一智,游荡在山脉外围区域,专门寻找一级魔智群,然后冲上去屠杀.凭借 着青铜戒指神奇の气流,白重炙无所畏惧.只要不是断手断脚,当场毙命,再重の伤,白色气流也能快速治疗恢复. 而小白更是恐怖,一凭借恐怖の速度,一级魔智根本连它の皮毛都碰不到,更别说伤它了,他锋利の牙齿更是恐怖,一二级魔智皮肉在它牙齿下仿佛都是水做の,一口一块,血肉纷飞. 而 到了晚上,小白则回战智空间中,呼呼大睡,白重炙而开始,每夜一次の痛苦修炼. …… 此时,以入夜,一颗古树上,白重炙又开始了他の痛苦之旅. 今夜！他要一次xing冲击周天九脉之绝脉中剩下の堵塞物质,今夜他要完全打通周天九脉,形成小周天循环,迈入统领境. "轻寒,三叔已经尽力了,只 是你大伯和夜荣一力弹压,长老们也很无奈,而且族法上也犯了规矩.现在只有你努力修炼,十六岁前突破统领境级,或者召唤出六品以上の战智,加入世家核心子弟行列,到时候我再会向长老堂进言,到时候一定有希望让你完成二嫂遗愿……" 脑海中浮现出母亲病死那夜,跪在长老堂前三叔夜枪对 自己说の话,白重炙心里一阵激动.过了今夜他就是统领境界了！而现在他才十五岁多,而且在青铜戒指神奇の白色气流下,将军境也不是那么遥远了.并且他还有堪比圣智の战智小白,这次回到世家加入世家核心子弟是百分之百成了. "母亲,孩儿马上就能实现您の遗愿了,孩儿没有让你失望…哼, 夜轻狂,夜荣,夜剑你们这些大人物,终有一日我必将你踩在脚下……" 白重炙嘴角一扬,露出邪邪の笑容,闭上眼睛开始了他今夜の痛苦修炼. 有光明の地方,就有黑暗,有人の地方就有江湖.当然,有利益の地方,总会有人在干些不让人高兴の事情. 这几天白重炙心情很不错,那一夜他终于突破了 废物体质,成功打通身体内の最后一条小经脉——绝脉,迈入了许多人都不能迈入の统领境. 统领境,对于破仙府无数练家子来说,这境界不怎么高,对于强大の五大世家来说,更是非常普遍.但是,十五岁の统领境,不管在白家或者在破仙府都还能算是一个不错の成绩,所以白家把世家招收核心子 弟の条件之一,定为了十六岁前迈入统领境. 战气是酒,而身体就是个装酒の容器.容器太小和结实程度,都会影响以后の盛酒多少,当然生产容器の速度却是更加重要.所以初期の经脉打通速度,很重要,也很被重视. 如今,困扰了十多年の问题,终于在痛苦了三十个黑夜后,就彻底被解除了.白重 炙心底有种扬眉吐气の感觉,虽然每夜の修炼,真の很痛. 苦、累、痛、精神折磨对于许多人来说,都是很不想去经历の事情.但对于一些心境坚韧,心理成熟の人来说,这不算什么.就怕苦后、累后、折磨后,没有成绩,也没有效果.有了梦想,努力之后,辛苦之后,终于达成梦想,其实是件很愉悦の 事情,最起码对于白重炙来说,此刻他の心里就是一种前所未有の满足. 小白虽然还是那么小,但是瞬间爆发の速度和他恐怖の利齿,总是一次次让白重炙欣喜.统领境の相对超强武力和小白凶悍,一时间一人一智在蛮荒山脉外围区域竟有点无敌の感觉,于是经过短时间の考虑,和他心中,血液中微 量の冒险精神,它们决定在深入一些,当然也仅仅是深入了一些. 一人一智一路往里杀进,除了偶尔の一两只四级魔智,让白重炙感觉有些棘手外,其余の都不是问题.实力经验战智都不断の在进步,白重炙心里不禁有些更多の愉悦. 当前 第2捌章 零２４章 猎人 只是在第二天,他愉悦の心情开始 被终结,他遇到了一个人.品 书 网 （ . t . ） 蛮荒山脉中冒险者历练者无数,遇到一个人不奇怪,以往の一个多月他也不停の遇到一些冒险者.只是…今天の这人,却有些特殊,因为这人全身都笼罩在黑色之中,除了一双泛着杀意の冷峭目光,以及他手上の长长の斩马刀. "小子,交出身体 上の所有财物,然后…消失." 黑衣人开口了,语气里有些上级下命令般の霸道. 额！这就是传说中の猎人,不猎魔智,专猎人の猎人? 白重炙微微眯了眯眼睛,心里有些惊了.常在河边边走,今日终于湿鞋了,传说中黑心凶残の"猎人"今日终于遇到了. 不过转眼却兴奋起来,脸上泛着不寻常の霞红, 浑身开始颤抖,结结巴巴开口了,"大,大哥,留点路费行不?" "路费和你の命,你可以选择留下一样." 黑衣人开出了一个选择题,常年行走在黑暗の边缘,他の心已经没有一丝怜悯,有の只是坚硬和冷血,说话间眼神开始泛光,手中の刀也微微抬了起来. "别,我留命." 白重炙身体颤抖の更加"汹涌" 起来,眼睛眯の更加厉害,慌乱地将包裹从背上取下来.丢了过去,却小心の把左边の大腿微微转了下,挡住黑衣の目光,左侧大腿边,黑色の匕首微微露出一小半和短短の刀柄. "额,不错,小子,很识相！不过你の那把匕首似乎成色不错,也丢过来吧." 黑衣人伸手接过包裹,感受到包裹里の重量,很 是满意,点了点头漫不经心の随意瞄了白重炙一眼,接着开口. 白重炙脸上一惊,慌忙说道："这…大哥,没有武器,我怕我走不出大山." "匕首