组合数的两个性质Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】组合数的两个性质 作者：万连飞教学目的：1．使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2．使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。

教学过程：一、 复习提问：1．组合数公式的两种形式是什么：2．利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n cpp c m nm mm n m n-=--⋅⋅⋅-==}(n,m ∈N,且m ≤N)二、新课讲授：1．通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1） 利用组合数的公式，考察： c 911与c 211， c 710与c 310， c 67与c 17的关系，并能发现什么规律（可以逐个叫学生回答，板书）∵!21011!2!9!11911⨯==c ，又!21011211⨯=c ， ∴c 911=c211；∵!38910!3!7!10710⨯⨯==c 又!38910310⨯⨯=c∴c c 310710=；∵!1!6!767=c 又!1717=c∴c 67=c17。

由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。

即定理1：c mn =cmn n -，(n,m ∈N,且m ≤N)(2)定理1的证明。

要证明这个等式成立，即证明两个量相等。

那么，证明两个量相等有声么方法呢（指明学生回答）”。

我们知道，)!(!!m n m n cm n-=，!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!m m n n -。

于是可得下面的证明。

证明：∵)!(!!m n m n cm n-=，又!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-，∴c m n=c mn n-。

（3）性质1的另一种解释：从n 个不同的元素中取出m 个元素，并成一组，那么，剩下的n-m 个元素也成一组；反之，从n 个不同的元素中取出n-m 个元素并组成一组，那么剩下的m 个元素也成一组。

所以，它们的组合是一一对应的，故有从n 个不同的元素中取出m 个的组合数是c mn 等于从 n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数cm n n-，即c mn=cm n n-。

（4）当2n m >时，利用这个公式，可是c mn 的计算简化。

如：3621892979979=⨯⨯===-c c c ，49502199100210098100=⨯⨯==c c 。

（5） 注意：当m=n 时，公式c m n =c mn n-变形为c c n nn 0=，又cn n=1，所以规定：c n 0=1即 0！=1（6）在这样的一组组合数：cn0，c n 1，c n 2……c n n 2-，c n n 1-，c nn中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。

如：c n=cn n，c n 1=c n n 1-，c n 2=c n n 2-，……。

2．用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。

（1）（1）用计算的方法考察组合数：c 35与c c 2434+，c58与c c 4757+的关系，你能由此发现什么规律吗（可指明学生回答，板书）∵1021452535=⨯⨯==c c106424142434=+=+=+C C c c∴c 35=c c 2434+∵563216783858=⨯⨯⨯⨯==c c563521321567216737274757=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+c c c c∴c58=c c 4757+规律：若n 、,m 是自然数，m ≤n ，则cc c m nm nm n 11-++=，（或cc c m n mn m n111---+=）定理2c c c m nmn mn 11-++= (n,m ∈N,且m ≤N)（2） 定理2的证明。

要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。

证明：∵)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n cc m nmn)!1(!)1(!)!1(!!)1(!m n m m m n n m n m m n m n n -++-+=-++-+=c mn m n m n 1)!1(!)!1(+=-++=∴cm n 1+=c c m nm n 1-+（3）对于定理2，还可以这样解释：从1a ， 2a ，….，1+n a 这n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 1+，这些组合可以分成两类：一类含1a ，一类不含1a 。

含1a 的组合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为cm n1-，不含1a 的组合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数为cm n。

再由加法原理，得：c c c m nmn mn 11-++=。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 1+，等于从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数c mn与从n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数c m n 1-的和。

这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

二、 课堂练习： 1．计算c198200与c c299399+；2．求c c 2738-；3．利用定理2证明：c c c cc c m nmm mm m n mn mn 11321...++---=+++++证明：c c cmn m n m n1111-+-++=c c c c c c c m n mn mn mn m n m n m n 133211221+----+---+++=++=……c c c c c mmmm m n mn mn ++++++---=1321...又证：将原式左边的各项写成：c c c m n m n m n 1111+-+--=，c c c m n m n mn 12112+-+---=，c c c m n m n mn 12113+-+---=， ……c c c m m m m mm 11121+++++-=，cc m m m m11++=，将上述的等式两边相加，得：c c c cc c m nm m m m m n m n m n 11321...++---=+++++四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数的方法,并做下列练习: 1.求c c c c c 5545352515222++++2. 证明:c c c c c n m n nm n n n n n n n11121+++++++=+⋅⋅⋅+++3.书上。