组合数的两个性质 作者：万连飞教学目的：1． 使学生掌握组合数的两个性质及其证明方法，培养学生的逻辑思维能力； 2． 使学生能利用组合数的性质进行计算，培养学生的计算能力。

教学过程：一、复习提问：1． 组合数公式的两种形式是什么：2． 利用组合数的公式的第二种形式计算 ，根据学生的回答，教师板书如下：（1） 组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n m m n n n cpp c m nm mm n m n-=--⋅⋅⋅-==}(n,m ∈N,且m ≤N)二、新课讲授：1． 通过具体的实例，丰富学生对性质1的感性认识，并加以证明，再讲它的应用。

（1） 利用组合数的公式，考察：c911与c211，c710与c310，c 67与c 17的关系，并能发现什么规律？（可以逐个叫学生回答，板书）∵!21011!2!9!11911⨯==c ，又!21011211⨯=c ， ∴c911=c211；∵!38910!3!7!10710⨯⨯==c 又!38910310⨯⨯=c∴c c 310710=；∵!1!6!767=c又!1717=c∴c 67=c17。

由不完全归纳可得：从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数，等于从n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数。

即定理1：c mn=cm n n-，(n,m ∈N,且m ≤N)(2)定理1的证明。

要证明这个等式成立，即证明两个量相等。

那么，证明两个量相等有声么方法呢？（指明学生回答） 方法一：“若两个数都等于第三个数，则这两个数相等 ”。

我们知道，)!(!!m n m n cm n-=，!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-显然，!)!(!m m n n -等于!)!(!m m n n -。

于是可得下面的证明。

证明：∵)!(!!m n m n cm n-=，又!)!(!)]!([)!(!m m n n m n n m n n cm n n-=---=-，∴c m n=c m n n-。

（3）性质1的另一种解释：从n 个不同的元素中取出m 个元素，并成一组，那么，剩下的n-m 个元素也成一组；反之，从n 个不同的元素中取出n-m 个元素并组成一组，那么剩下的m 个元素也成一组。

所以，它们的组合是一一对应的，故有从n 个不同的元素中取出m 个的组合数是c mn 等于从 n 个不同的元素中取出n-m 个元素的组合数cm n n-，即c mn =cm n n-。

（4）当2n m >时，利用这个公式，可是cm n的计算简化。

如：3621892979979=⨯⨯===-c c c ，49502199100210098100=⨯⨯==c c 。

（5） 注意：当m=n 时，公式c m n =c mn n-变形为c c n nn 0=，又cn n=1，所以规定：cn0=1即 0！=1（6）在这样的一组组合数：cn0，cn1，cn2……cn n2-，cn n1-，cn n中，性质1还说明了：与两端等距离的两个组合数相等。

如：c n=cn n，c n1=cn n1-，c n2=cn n2-，……。

2． 用计算的方法验证下列各式成立，并加以证明。

（1）（1）用计算的方法考察组合数：c 35与c c 2434+， c58与c c 4757+的关系，你能由此发现什么规律吗？（可指明学生回答，板书）∵1021452535=⨯⨯==c c106424142434=+=+=+C C c c∴c 35=c c 2434+∵563216783858=⨯⨯⨯⨯==c c563521321567216737274757=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+c c c c∴c58=c c 4757+规律：若n 、,m 是自然数，m ≤n ，则c c c m nmn m n 11-++=，（或c c cm n m n m n111---+=）定理2c c c m nmn mn 11-++= (n,m ∈N,且m ≤N)（2） 定理2的证明。

要证明这个等式，只要根据组合数的公式变形即可。

证明：∵)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n cc m nm n)!1(!)1(!)!1(!!)1(!m n m m m n n m n m m n m n n -++-+=-++-+=c mn m n m n 1)!1(!)!1(+=-++=∴cm n 1+=cc m nm n1-+（3）对于定理2，还可以这样解释：从1a ， 2a ，….，1+n a这n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 1+，这些组合可以分成两类：一类含1a ，一类不含1a 。

含1a 的组合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数为cm n1-，不含1a 的组合是从2a ，….，1+n a 这n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数为cmn 。

再由加法原理，得：cc c m nm nm n 11-++=。

（3）定理2还说明了，把从n+1个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 1+，等于从n 个不同的元素中取出m 个元素的组合数cmn 与从n 个不同的元素中取出m-1个元素的组合数cm n1-的和。

这体现了组合数的可分解性，或组合数的可加性。

二、课堂练习： 1． 计算c 198200与c c299399+；2． 求c c2738-；3． 利用定理2证明：c c c cc c m nm m m m m n mn mn 11321...++---=+++++证明：c c cmn m n m n1111-+-++=c c c c c c c m n mn mn mn m n m n m n 133211221+----+---+++=++=……c c cc c mmm m m n m n m n ++++++---=1321...又证：将原式左边的各项写成：c c cm n m n m n 1111+-+--=，c c c m n m n mn 12112+-+---=，c c c m n m n m n 12113+-+---=， ……c c c m m m m m m 11121+++++-=，cc m m m m11++=，将上述的等式两边相加，得：c c c cc c m nm m m m m n m n m n 11321...++---=+++++四、作业:认真阅读课文,重点掌握组合数的两个性质的证明和利用性质计算组合数的方法,并做下列练习: 1.求c c c c c 5545352515222++++2. 证明: c c cc c n m n n m n n n n n n n11121+++++++=+⋅⋅⋅+++3.书上。