(1)
式中，b为常数；τ 为电路的时间常数，对RC电路，
τ =R0C, 对于 RL 电路有 τ =L/R0 。式 (1) 是一阶非
电 路 分 析
图 1 一阶电路
duC 1 1 uC us dt R0C R0C diL R0 1 iL u s dt L L
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
8.2-14
电 路 分 析
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
电 路 分 析
8.2.1 零状态响应的概念
零状态响应
当电路中储能状态为零时，由外加激励信号产生 的响应（电压或电流）称为零状态响应（或称受 激响应）。
求解公式
一阶电路微分方程的一般形式为 y ( t ) + a y( t ) = f( t )
8.2-1
依此可以导出求零状态响应y( t )的一般方法。将上式两边乘以eat，
：通解（自由分量，暂态分量） uC
duC 齐次方程 RC uC 0 的通解 dt
Ae uC
全解

t RC
变化规律由电路参数和结构决定
t RC
uC U S Ae uC uC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
电路在外加激励和动态元件初始储能的共同作用
下产生的响应称为全响应。
由于一阶电路只含有一个动态元件(电容或电感)，
因此可应用戴维宁定理，将原电路简化等效成如图 1
所示的两种形式。根据 KL 及元件 VCR ，分别列出以电
容电压 uC(t) 和电感电流 iL(t) 为响应变量的电路方程， 整理后有
8.2-13
A= - US
8.2-6
uc U S U S e
强制分量(稳态)

t RC
U S (1 e

t RC
电 路 分 析
)
(t 0)
自由分量(暂态)
US
uc
uC' uC"
t
t duC U S RC iC e dt R
0
-US
US R
i
0
t
8.2-7
能量关系
电源提供能量： 电容储存： 电阻消耗
t
u R U Se
0.368
0.135 0.050 0.018

t
0
uC U S (1 e
0.632
0.865 0.95 0.982

t
0
)
0
2 0 3 0 4 0
5 0 看曲线规律。
0.007
0.993
8.2-9
电 路 分 析
RL电路的零状态响应（直流输入）
(t=0) _ + uL _
电 路 分 析

0
1 2 CU S 2
0
US US e R

t RC
2 dt CU S
R
US
+ -
C

0
i Rd t
2
US ( R
e
t
RC
)2 R d t
1 2 CU S 2
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量 储存在电容中。
8.2-8
电 路 分 析
uR和uC在不同时刻的值
R + UR
+ Us －
电感初始电流为零，当t=0时合上 开关S，该电路实质上就是电感 从电源吸收能量转换为磁场能量 储存起来的响应过程。 由KVL得：
L diL Ri L Us dt
uR uL Us
iL (0) 0
此方程的解为
iL iLh iLp
8.2-10
其中， i LP 为方程的一个特解，是换路后的稳态解， 与外加激励有关，与RC电路零状态响应相似，也称为 Us 强制分量，由换路后的稳态电路可以看出 i
得 eat y ( t ) + aeat y( t ) = eat f( t )
电 路 分 析
即
d at e y (t ) e at f (t ) dt
从0 到t积分上式，有


e y (t )
即
at
at
t 0


t
0
f ( )e a d
t 0
e y (t ) y (0 ) f ( )e a d
所以：
Us i L (t ) (1 e ) R
t
t0
t
uR (t ) Us(1 e );t 0
并且可得：
uL (t ) Us uR (t ) Use ; t 0
iL
Us R

t
iLP t iLh
o

Us R
8.2-12
电 路 分 析
8.2.2 一阶电路的完全响应
设激励f( t )在t = 0加入，它不可能在t = 0以前引起响应，故y( 0 ) = 0，从 而得零状态响应
y (t ) e
at
t 0)
8.2-2
电 路 分 析
RC电路的零状态响应（电容的充电，直流输入）
电路方程
(t ) uC
1 1 uC (t ) US , RC RC
1 a RC
R t=0 US
i C uC
US uC
(a)
uR 0
0 0 0 0 0
(b)
t
图8-8
8.2-3
电 路 分 析
利用公式
uC (t ) e

t RC

t
0
1 U Se RC d RC
t RC

U S U Se U S (1 e

t RC
),
t
(t 0)
(t 0)
duC U S RC i (t ) C e dt R
u R (t ) Ri U Se

t RC
(t 0)
8.2-4
电 路 分 析
RC电路的零状态响应的经典解法
K(t=0)
US
R
R
i
C
列方程：
+u –
uC
–
+
duC RC uC U S dt
LP
电 路 分 析
R
iLh 为该电路对应的齐次方程的解。
L di L Ri L 0 dt
该解与外加激励无关，也称为自由分量。
i Lh Ae
Us i L (t ) Ae R t
t

，其中A为待定系数 代入初始条件 iL (0) 0
Us R
得
A
8.2-11
电 路 分 析
非齐次线性常微分方程
uC (0-)=0
解答形式为：
uc u u
' c
" c
齐次方程的通解
非齐次方程的特解
8.2-5
US uC ：特解（强制分量） uC
duC RC uC U S dt
电 路 分 析
与输入激励的变化规律有关，周期性激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量