2 x4 ) dx . 5. ( 2 sin x 3 x e x ) dx . 6. ( 2 2 1 x 1 x
cos 2 x 7. dx . cos x sin x
x 9. sin dx . 2
2
1 8. dx . 2 2 cos x sin x
10. e x 1 d x .
例 2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的 切线斜率为 sec x sin x ，且此曲线与 y 轴
2
的交点为(0,5) ，求此曲线的方程.
例2 已知一曲线 y f ( x ) 在点( x , f ( x )) 处的
sec 2 x sin x ，且此曲线与 y 轴 切线斜率为
1 cos 2 x sin2 x dx .
1 cos 2 x sin2 x dx
cos 2 x sin2 x dx 2 2 cos x sin x
[sec 2 x csc 2 x ]dx
tan x cot x C .
9. 求积分 解
2
x sin 2 dx .
二、 基本积分表 P172 (1) kdx kx C ( k 是常数) ;
( 2)
( 3) ( 4)
( 5)
( 6) (7)
x 1 x dx C ( 1) ; 1 dx x ln | x | C ; 1 1 x 2 dx arctan x C arccot x C 1 1 x 2 dx arcsin x C arccos x C cos x dx sin x C ;
y x2 C ,
由曲线通过点(1 , 2) , C 1,
2 所求曲线方程为 y x 1.
一、原函数与不定积分的概念
1.原函数
定义： 设 f (x) 在区间 I 内有定义，若存在可导 函数 F(x)使对每一个 xI 有 F'(x)= f(x) 或 dF(x) = f (x)dx ， 则称 F(x) 为 f(x) 在区间 I 内的一个原函数 .
2. 不定积分的定义：
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 内的一个原函数 ,则 f (x)
在区间 I 内的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 内的
不定积分, 记为 f ( x )dx .
积 被 分 积 号 函 数 例 求
5
x f ( x )d被 F ( x ) C
积 表 达 式 积 分 变 量
说明 以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形
才能使用基本积分表.
1.
x ( x 3 x ) dx .
3
3 2 4 3
2 5 3 7 x ( x x ) d x ( x x ) dx x 2 x 3 C . 5 7 x x 2. dx . 3 x 1 2 3 5 解 x x 3 2 dx ( x x ) dx x 2 C . x3 x 3
2 x4 ) dx . 6. 求积分 ( 2 2 1 x 1 x
解
2 x4 ( 1 x 2 1 x 2 ) dx 2 x4 1 1 dx dx 2 2 1 x 1 x 1 2 arcsin x dx ( x 2 1) dx 1 x2 1 3 2 arcsin x arctan x x x C . 3
一、填空题： 1、一个已知的函数，有______个原函数，其中任意 两个的差是一个______； 2、 f ( x ) 的________称为f ( x ) 的不定积分； 3、把 f ( x ) 的一个原函数F ( x ) 的图形叫做函数f ( x ) 的________，它的方程是y F ( x ) ，这样不定积 f ( x )dx 在几何上就表示________，它的方程是 y F ( x) C ；
解
3.
(10 x 2e x ) dx .
解
10 x (10 x 2e x ) dx 2e x C . ln 10
( 2 x 3 x ) 2 dx . 4. 求积分
解
( 2 x 3 x ) 2 dx ( 2 2 x 2 2 x 3 x 3 2 x ) dx ( 4 x 2 6 x 9 x ) dx
的交点为(0,5) ，求此曲线的方程.
解
dy sec2 x sin x , dx
y (sec 2 x sin x ) dx
tan x cos x C ,
y ( 0) 5 , C 6,
故所求曲线方程为 y tan x cos x 6 .
7. 求积分 解
cos 2 x cos x sin x dx .
cos 2 x cos x sin x dx
cos 2 x sin2 x dx cos x sin x
(cos x sin x ) dx
sin x cos x C
8. 求积分 解
(性质可推广到有限多个函数线性组合的情况)
四、直接积分法
直接积分法 根据不定积分的运算性质和基本积
分公式 , 直接求出不定积分的方法.
例1 求下列不定积分：
1. 3.
x(
x x ) dx .
3
x x 2. dx . 3 x
4. ( 2 x 3 x ) 2 dx .
(10 x 2e x ) dx .
有 F (0) F (0 0) F (0 0) , 即 1 C1 C 2 ,
F ( x)
ex C x0 f ( x )dx . 1 2 x x 1 C x 0 2
注意:
1) 导数是唯一的 , 但原函数不唯一. 2) 任一初等函数都可求导数 , 且导数一般也为 初等函数 , 但一些初等函数的不定积分就不能 用初等函数来表示 . sin x x2 例如 : e dx , dx , sin x 2 dx 等 . x 这些不定积分的原函数存在 , 但不能用初等函 数来表示 . 3) 不定积分与变量符号无关.
ax C; (12 ) e x dx e x C ; (13 ) a x dx ln a
(14 ) (15 )
sinh x dx cosh x C ; cosh x dx sinh x C ;
例 求积分 解

x2 dx . x
3 2

x
2 x C x C. dx x dx 3 5 x 1 2
e x x0 例4 设 f ( x ) , 求 f ( x )dx . 1 x x 0 解 f ( x ) C ( , ) , f ( x )在 ( ,)上可积 .
F ( x ) e x dx e x C1 当 x 0时 , 1 2 当 x 0 时 , F ( x ) (1 x )dx x x C 2 2 F ( x ) C ( , ) , 令 F ( x ) f ( x )dx
关于原函数有以下三个问题：
1) f(x) 满足什么条件 , 其原函数一定存在？
原函数存在定理
若 f(x) 在区间 I 内连续 , 则 在区间 I 内一定存在 f(x) 的原函数. 简言之：连续函数一定有原函数. 2) 若 f(x) 有原函数 , 其原函数有多少个？
若 f (x)有原函数 ,则 f (x) 的原函数有无穷多个. 3) f (x) 的全体原函数如何表示? 若 F(x) 是f (x)的一个原函数 ,则 f (x)的全体原函数 可表示为 F (x) +C. (C为任意常数)
2
3 1 2
5 2
三、 不定积分的线性运算法则
(1) ( 2)
kf ( x ) dx k f ( x ) dx . ( k 0 ). [ f ( x ) g( x )] dx f ( x ) dx g( x ) dx .
( , 为不全为零的常数)
四、 小结
原函数的概念：F ( x ) f ( x ) 不定积分的概念： f ( x ) dx F ( x ) C
基本积分表
求微分与求积分是互逆关系
不定积分的性质
思考题
1, x 0 符号函数 f ( x ) sgn x 0, x 0 1, x 0
任 意 常 数
x dx .
1 dx . 例2 求 2 1 x
3. 不定积分的几何意义
设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数 , 则
y=F(x) 为平面上的 一条曲线.
y=F(x)+C 为平面上的 一族曲线. 函数 f (x) 的原函数的图形称为积分曲线. 不定积分称为积分曲线族 , 且在横坐标相同的点 处每条曲线上的切线斜率相等都为f (x) , 即在横 坐标相同的点处各切线相互平行.
例3 已知 f (sin x ) 2 cos 2 x 1 , 求 f ( x ) . 解
由 f (sin x ) 2 cos2 x 1 3 2 sin2 x , ( x ) 3 2 x 2 , 得f
f ( x ) ( 3 2 x 2 )dx 3 x 2 x 3 C 3
2
x 1 cos x x sin x sin dx dx C. 2 2 2
e x 1 dx .
10. 求积分e x 1源自d x e 1 e x d x e x 1 C . 解
在求 f (x) 的所有原函数中,有时需要确定一 个满足条件 y (x0 ) = y0 的积分曲线 .即求通过 点(x0 , y0)的积分曲线 .这个条件一般称为初 始条件,它可以唯一确定积分常数 C 的值.