第5章 一元函数积分学第一节：不定积分1.不定积分的概念与性质（1）定义：设函数)(x f 在区间I 上有定义，倘若存在函数)x (F ，使对任x I ∈，有)x (f )x ('F =或(dx )x (f )x (dF =），则称)x (F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。

函数)(x f 的原函数全体叫)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(，且有⎰+=C x F dx x f )()(（C 为随意常数）（2）不定积分性质⎰=)()(x f dx x f dx d C x f dx x f +=⎰)()(' ⎰⎰⎰⎰⎰±=±≠=dxx g dx x f dx x g x f k dx x f k dx x kf )()()]()([)0(,)()( 【例题5-1】()f x 的一个原函数为2x e -，则()f x '等于： （A ）222(12)x x e --+（B ）22x xe --（C ）222(12)x x e -+（D ）2(12)x x e --解析：22()()2x x f x e xe --'==-，()f x '222(2)2(2)(2)x x x xe e x e x ---'=-=-+--222(12)x x e -=-+ 答案：A【例题5-2】倘若11()x x f x e dx eC --=-+⎰，则函数)(x f 等于 （A ）x1-； （B ）21x-； （C ）x 1；（D ）21x 解：两边对x 求导，得1121()x x f x ee x --=-，所以()f x =21x-，应选B 。

2.不定积分的计算（1）基本积分公式 ⎰+=C kx kdx ⎰+=C x dx⎰+=C x x dx ln )1(11-≠++=⎰+μμμμC x dx x⎰+=+C x x dx arctan 12⎰+=-C x x dx arcsin 12⎰+=C x xdx sin cos ⎰+-=C x xdx cos sin⎰+=C e dx e x x )1,0(ln ≠>+=⎰a a C a a dx a xx⎰⎰+==C x dx x x dx tan sec cos 22⎰⎰+-==C x dx x x dx cot csc sin 22（2）直接积分法直接积分法就是利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分的主意。

偶尔还要用到代数和三角函数的恒等式对被积函数举行恒等变形,然后再使用积分公式。

【例题5-3】22cos 2sin cos x dx x x⎰等于： （A ）cot tan x x C -+（B ）cot tan x x C ++（C ）cot tan x x C --+（D ）cot tan x x C -++ 解：22cos 2sin cos x dx x x⎰=2222cos sin sin cos x x dx x x -⎰ 2211cot tan sin cos dx dx x x C xx =-=--+⎰⎰ 故应选（C ）。

（3）第一类换元积分法（凑微分法）倘若被积函数的主要部分是复合函数，例如[()]f x ϕ，而余下部分正巧是内层函数的导数，既()x ϕ'，则可将()x dx ϕ'凑成()d x ϕ，再利用积分公式得结果。

()[()]()[()]()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ'==⎰⎰⎰()()[()]f u du F u C F x C ϕ==+=+⎰ 这种主意最关键的一步是凑微分，为方便大家做题，这里列出几种常用凑微分形式：1） ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f adx b ax f 2） ⎰⎰++=+-)()(1)(1b ax d b ax f andx b ax f x n n n n 3） ⎰⎰=)(ln )(ln )(ln 1x d x f dx x f x 4）⎰⎰=)(sin )(sin )(sin cos x d x f dx x xfsin (cos )(cos )(cos )xf x dx f x d x =-⎰⎰5） ⎰⎰=)()()(x x x x e d e f dx e f e6）⎰⎰=x d x f dx x f x )(2)(1【例题5-4】下列各式中准确的是（C 为随意常数）：（A ）1(32)(32)2f x dx f x C '-=--+⎰； （B ）(32)(32)f x dx f x C '-=--+⎰；（C ）(32)()f x dx f x C '-=+⎰；（D ）1(32)(32)2f x dx f x C '-=-+⎰ 解：因为()32x x ϕ=-，1(32)2dx d x =--，有 11(32)(32)(32)(32)22f x dx f x d x f x C ''-=---=--+⎰⎰ 故应选（A ）。

【例题5-5】不定积分2等于:(A) 4331(1)4x C ++ (B) 133(1)x C ++ (C) 2333(1)2x C ++ (D) 2331(1)2x C ++ 解: 223331331(1)1(1)32(1)d x x C x +==+++⎰，答案：D【例题5-6】若3()f x dx x C =+⎰,则⎰xdx x f sin )(cos 等于:(式中C 为随意常数)(A)3cos x C -+(B) 3sin x C +(C) 3cos x C + (D) 31cos 3x C + 解: 利用第一类换元⎰xdx x f sin )(cos 3(cos )cos cos f x d x x C =-=-+⎰,故应选(A).【例5-7】设)(x F 是)(x f的一个原函数，则dx = （A）12F C + （B）2F C -+（C）2F C +（D）12F C -+解：f dx22f F C ==+⎰，故应选（C ）。

（4）分部积分法这种主意是利用分部积分公式⎰⎰-=vdu uv udv将无法直接求出原函数的积分udv ⎰化为能求出原函数的积分vdu ⎰，从而得到结果。

分部积分法主要用于以下两种情形：1）当被积函数是对数函数或反三角函数时, 必须用分部积分法。

这是取被积函数为u ，dx 就是dv ，直接套公式则可。

【例题5-8】不定积分arctan xdx ⎰等于:(式中C 为随意常数) (A) 21arctan ln(1)2x x x C +++ (B) 2arctan ln(1)x x x C -++ (C) 21ln(1)2x C -++ (D) 21arctan ln(1)2x x x C -++ 解:用分部积分法 ，有arctan xdx ⎰2221(1)arctan arctan 121x d x x x dx x x x x +=-=-++⎰⎰21arctan ln(1)2x x x C =-++ 故应选(A).2）当被积函数是两种不同类型函数的乘积时，可考虑用分部积分法。

这时，按“反、 对、幂、指、三”的顺序，位于前面的取为u ，余下部分为dv 。

【例题5-9】若2x xe dx -⎰等于:(式中C 为随意常数) (A)21(21)4x e x C --++ (B) 21(21)4x e x C -++ (C) 21(21)4x e x C ---+ (D) 21(1)2x e x C --++ 解:被积函数是幂函数和指数函数的乘积，取221,2x x u x dv e dx de --===-，有2x xe dx -⎰222221111[][]2222x x x x x xde xe e dx xe e C -----=-=--=-++⎰⎰ =21(21)4x e x C --++ 故应选(A).【例题5-10】若2sec x 是()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于：A.tan x C +B. tan ln cos x x x C -+C. 2sec tan x x x C ++D. 2sec tan x x x C -+解析：因2sec x 是()f x 的一个原函数，故有2()sec xf x dx xd x =⎰⎰，利用分部积分公式，2222sec sec sec sec tan xd x x x xdx x x x C =-=-+⎰⎰。

答案：D第二节：定积分1.定积分的概念及性质（1）定积分的定义∑⎰=→∆=n i i i ba x f dx x f 10)(lim )(ξλ 说明：1）⎰b adx x f )(是一个数值，它只与积分区间],[b a 及被积函数)(x f 有关，而与积分变量的记号无关。

2）规定：⎰⎰-=b a a b dx x f dx x f ;)()(()0aa f x dx =⎰ （2）定积分的几何意义当()0f x ≥时，⎰b a dx x f )(表图曲边梯形的面积；普通地，⎰b a dx x f )(的值等于由x 轴、曲线)(x f y =及直线b x a x ==,所围曲边梯形面积的代数和（位于x 轴上方带正号，位于x 轴下方带负号）。