第（1）小题直接求解 V 312 (m3)，第（2）小题从题目 问题出发，以 PO1 为自变量建立体积的函数关系式。通过两 种几何体的底都是正方形，将正四棱锥的高与底面边长联系 起来， 先用 PO1=h 分别表示正方形边长 x
2 36 h2
及柱体的
高 H=4h， ，两者底面积均为 x2 2(36 h2 ) ，再利用柱体与锥体 体积公式得， V V1 V2 26 h(36 h2 ) ， (0 h 6) ，最后利用导数
r 3d 680 4 3
2 2
M 0, d
到 直 线 BC 的 距 离 是 r ， 即

680 3d 5
.
垂线段小于等于折线段之和， 于是可以建立关于 d 的不 等式组。 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m，
r d 80， 所以 r (60 d ) 80，
(170 80)2 (0 120)2 150 .因此新桥
BC 的长为பைடு நூலகம்150m.
第（2）题 设保护区的边界圆 M 的半径为 r m，OM d m
(0 d 60) .
由条件知， 直线 BC 的方程为 4 x 3 y 680 0 .由于圆 M 与直 线 BC 相 切 ， 故 点
3
，即 x 200 时，等号成立。
例 3（2016 年江苏卷第 17 题）现需要设计一个仓库，它 由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P A1B1C1D1 ，下 部分的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 (如图所示)， 并要求正四 棱柱的高是 PO1 的四倍. （1）若 AB 6m, PO1 2m, 则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 PO1 为多少时，仓 库的容积最大？ （本题是借用课本必修 1（苏教版）第 35 页例 4、必修 2 第 61 页第 9 题、必修 5 第 94 页第 5 题、选修 2—2 第 56 页第 11 题等例题或习题的图形或解法整合而成。 ）
对2017江苏高考数学应用题和 数列题最后教学的思考
一．回眸特点
• 1.应用题
例 1. （2104 年江苏卷的 18 题 ） 如图， 为了保护河上古桥 OA ， 规划建一座新桥 BC，同时设立一个圆形保 护区. 规划要求： 新桥 BC 与河岸 AB 垂直； 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆. 且古桥两端 O 和 A 到该圆上 任意一点的距离均不少于 80m. 经测量， 点
kBC tan BCO 4 .又因为 AB BC ，所以直线 3
BC
AB 的斜率 k
AB
3 .设 4
点 B 的坐标为 a, b ， 则k 所以 BC
b0 4 b 60 3 解得 a 80, b 120 . ， k AB ， a 170 3 a0 4
解得 10 d 35 . 故当 d 10 时，r 680 3d 最大， 即
5
圆面积最大.
例 2.（2015 年江苏卷第 17 题）某山区外围有两条相互垂直 的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直 的公路为 l 1， l2 ，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如 图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1， l2 的距离分 别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l 1， l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l 1， l2 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角 坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y 数）模型. （1）求 a，b 的值； （ 2） 设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解
y B A 60 M mO 170 m
（ 第 18 题）
C
x
A 位于点 O 正北方向 60m 处， 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸)， tan BCO 4 .
3
(1) 求新桥 BC 的长； (2) 当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
第 （1） 小题的数学模型就是线段长度， 利用解析法求解， 如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直 角 坐 标 系 xOy. 由 条 件 知 A0,60 , C 170,0 ， 直线 BC 的 斜率
3
研究其最值。当 h 2 3 时， V (h) 有最大值 V (2
3) 416 3 。
2.数列题 填空题 （2014 年第 7 题） 在各项均为正数的等比数列 an 中， 若 a2 1 ， a8
a6 2a4 ，则 a6 的值是
O y l1 C l P N l2 x M
a x2 b
（其中 a，b 为常
析式
f t ，并写出其定义域；
②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.
本题的数学模型是分式函数，在一定条件下求最值。写出 M、N 两点坐标，利用待定系数法求出 a、b 的值，从而求
(5 x 20) 。对于第（2）小题，先利用导数 出解析式为 y 1000 2 x 2000 3 ( x t ) ，再求出公路两端点的 知识求出切线方程 y 1000 2 t t ) ，从而公路 l 的长度的函数解析式为 坐标 A( 3t , 0) ， B(0, 3000 2 2 t
t 2 106 f (t ) 3 4 (5 t 20) 。 4 t
令 t 2 x(25 x 400) ，被开方部分为 h( x) ，这时函数式较为简 单了。
x x 106 也可以使用三元基本不等式求解， g (t ) h( x) 2 8 8 x x x 106 x x 106 3 75 ，当且仅当 2 8 8 x 8 8 x2