n2 n d 2
使得 S n
a m ， 1 ( m 1) d n
（ *） ；那么 m 随着 n 的变化而
f (n) .
变化，可设满足函数关系式 m 又
d 0
，那么要使（*）对任
恒成立，则
m f ( n)
；代入得：
d Bd 1 ，即有 ； 2 1 d Cd 0
时， S n a m . （注意：存在性问题的证明方法，找出符合题意的对象）
解法 2： （看到这个题目，联想到和 2013 年考的是一样的： 恒等式问题） 由题意设
n2 n Sn n d 2
am 1 (m 1)d
； 又 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和
；由题意知对任意正整数 n ，总存在正整数 m ，
【解析】 设公比为 q ， 因为 a2 1 ， 则由 a8
q 4 q 2 2 0 ，解得 q 2 2 ，所以 a6 a2q4 4 ．
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为 a1 和 d 等基本 量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式
an a1 (n 1)d
t 2 106 f (t ) 3 4 (5 t 20) 。 4 t
令 t 2 x(25 x 400) ，被开方部分为 h( x) ，这时函数式较为简 单了。
x x 106 也可以使用三元基本不等式求解， g (t ) h( x) 2 8 8 x x x 106 x x 106 3 75 ，当且仅当 2 8 8 x 8 8 x2
（2015 年第 11 题 数列 {an } 满足 a1 1 ， 且 an1 an 则数列 { 1 } 的前 10 项和为
an
， n （ 1 n N* ）
【解析】由题意得：
an (an an 1 ) (an 1 an 2 ) (a2 a1 ) a1 n n 1 2 1 n(n 1) 2
（2016 年第 8 题）已知 {a } 是等差数列， {S } 是其前 n 项和.
n n
若 a1 a22 3,S5 =10 ，则 a 的值是
9
▲
.
【答案】 20. 本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系 数法， 即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题 易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如
O y l1 C l P N l2 x M
a x2 b
（其中 a，b 为常
析式
f t ，并写出其定义域；
②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.
本题的数学模型是分式函数，在一定条件下求最值。写出 M、N 两点坐标，利用待定系数法求出 a、b 的值，从而求
(5 x 20) 。对于第（2）小题，先利用导数 出解析式为 y 1000 2 x 2000 3 ( x t ) ，再求出公路两端点的 知识求出切线方程 y 1000 2 t t ) ，从而公路 l 的长度的函数解析式为 坐标 A( 3t , 0) ， B(0, 3000 2 2 t
所以 a
1
n
2(
1 1 1 2n 20 ), Sn 2(1 ) , S10 n n 1 n 1 n 1 11
由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为 an＋1＝an＋ f(n)或 an＋1＝f(n)· an，则可以分别通过累加、累乘法求得通项 公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公 式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等 价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒 序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求 和法等，可根据通项特点进行选用.
n( a1 an ) n( n 1) na1 d 2 2
及前 n 项和公式 Sn

，共涉及
五个量 a1, d , n, an , Sn ， 知其中三个就能求另外两个,即知三求二， 多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意 要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型， 解决此类问题需要抓住基本量 a1 、 d ，掌握好设未知数、列 出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入” 来简化运算．
B 2
An B .
B 2
， c1
A
.
所以对任意的等差数列 an ， 总存在两个等差 “ H 数列” bn 和
cn ，使得
an bn cn (n N * ) 成立.
例 2（2015 年第 20 题）设 a1, a2 , a3 , a4 是各项为正数且公差为 d
解得 10 d 35 . 故当 d 10 时，r 680 3d 最大， 即
5
圆面积最大.
例 2.（2015 年江苏卷第 17 题）某山区外围有两条相互垂直 的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一 条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直 的公路为 l 1， l2 ，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如 图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l 1， l2 的距离分 别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l 1， l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l 1， l2 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角 坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y 数）模型. （1）求 a，b 的值； （ 2） 设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t. ①请写出公路 l 长度的函数解
y B A 60 M mO 170 m
（ 第 18 题）
C
x
A 位于点 O 正北方向 60m 处， 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸)， tan BCO 4 .
3
(1) 求新桥 BC 的长； (2) 当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
第 （1） 小题的数学模型就是线段长度， 利用解析法求解， 如图，以 O 为坐标原点，OC 所在直线为 x 轴，建立平面直 角 坐 标 系 xOy. 由 条 件 知 A0,60 , C 170,0 ， 直线 BC 的 斜率
解析
（1）因为
Sn 2n
，
a1 S1 2
，故当
m2
时，
am Sm Sm1 2m 2m1 2m1
1, m 1 . am m1 2 , m 2
， 那 么 数 列 {an } 的 通 项 公 式 为
因此， 当 n 1 时，m 1，S n a m ；n 2 ， 当 m n 1
Sn n(a1 an ) n(am at ) ,(m t 1 n, m、t、n N * ) 及等差数列广义通项 2 2
n
公式 a
am (n m)d .
解答题 例 1.（2014 年第 20 题）设数列 {an } 的前 n 项和为 S n .若对任意 正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 S n a m ，则称 {an } 是“H 数列”. (1)若数列 {an } 的前 n 项和 S n 2 n ( n N ),证明: {an } 是“H 数 列”; (2)设 {an } 是等差数列,其首项 a1 1 ,公差 d 0 .若 {an } 是“H 数 列”,求 d 的值； (3)证明：对任意的等差数列 {an } ，总存在两个“H 数列” {bn } 和 {cn } ，使得 an bn cn ( n N )成立.
(170 80)2 (0 120)2 150 .因此新桥
BC 的长为 150m.
第（2）题 设保护区的边界圆 M 的半径为 r m，OM d m
(0 d 60) .
由条件知， 直线 BC 的方程为 4 x 3 y 680 0 .由于圆 M 与直 线 BC 相 切 ， 故 点
2
1 2 d n2 n d Bnd (1 d Cd ) n(1 ) d 2 2 2
又当 n 1 时， m n 1，即 1 B C 1 ，由此可以解得 B 3 , C 2
2
, d 1 .
此时 an
2n.
（3）这样的分解不唯一，化归第（2）问的结论，从结论中 寻找解题问题的生长. 由（2）的解答过程可知： 等 差 数 列 bn 中 若
3
研究其最值。当 h 2 3 时， V (h) 有最大值 V (2
3) 416 3 。
2.数列题 填空题 （2014 年第 7 题） 在各项均为正数的等比数列 an 中， 若 a2 1 ， a8
a6 2a4 ，则 a6 的值是
.
a6 2a4 得 q6 q4 2a2 ，
3
，即 x 200 时，等号成立。
例 3（2016 年江苏卷第 17 题）现需要设计一个仓库，它 由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥 P A1B1C1D1 ，下 部分的形状是正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 (如图所示)， 并要求正四 棱柱的高是 PO1 的四倍. （1）若 AB 6m, PO1 2m, 则仓库的容积是多少？ （2）若正四棱柱的侧棱长为 6m,则当 PO1 为多少时，仓 库的容积最大？ （本题是借用课本必修 1（苏教版）第 35 页例 4、必修 2 第 61 页第 9 题、必修 5 第 94 页第 5 题、选修 2—2 第 56 页第 11 题等例题或习题的图形或解法整合而成。 ）
bn b1 (n 1)d1 2b 1 b 1n .
b1 1 d1
时 ,
bn 是 “
H
数 列 ” ,
则
同 理 等 差 数 列 cn 中 若