2017年江苏省高考数学模拟应用题大全（五）1、如图，某开发区内新建两栋楼AB,CD(A,C为水平地面),已知楼AB、CD 的高度分别为10m、20m，两楼间的距离AC为70m.（1）如何在两楼间AC上取一点P点，使得P点到两楼顶DB,距离之和最短？（2）试在AC上确定一点P，使得张角BPD最大.2.某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD 空地改建为健身娱乐广场.已知AD //BC ,,2AD AB AD BC ⊥==3AB =百米，广场入口P 在AB上，且2AP BP =，根据规划，过点P 铺设两条相互垂直的笔直小路PN PM ,（小路的宽度不计），点N M ,分别在边BC AD ,上（包含端点），PAM ∆区域拟建为跳舞健身广场，PBN ∆区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设APM θ∠=.（1）求绿化草坪面积的最大值；（2）现拟将两条小路PN PM ,进行不同风格的美化，PM 小路的美化费用为每百米1万元，PN 小路的美化费用为每百米2万元，试确定N M ,的位置，使得小路PN PM ,的美化总费用最低，并求出最小费用.3．某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 为单调递增函数，②0()f x kx ≤≤，其中0k >．（1）若12k =，试判断函数()f x 是否符合奖励方案，并说明理由； （2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值．4、如图所示，扇形ABC 是一个半径为2千米，圆心角为600的风景区，上，点在弧BC P 现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道。

（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度（2）由于环境原因，三条街道QR PR PQ ,,每年能够产出的经济效益分别是每千米300万元，200万元及400万元，这三条街道最高经济效益（精确到1万元）5、如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中 120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？6、如果一条信息有n 1,)n n >∈N （种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为12,,,n p p p ，则称H =12()()()n f p f p f p ++（其中()f x =log ,a x x -(0,1)x ∈）为该条信息的信息熵．已知11()22f =．（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有n 位选手（分别记为12,,,n A A A ）参加，若当1,2,k =,1n -时，选手k A 获得冠军的概率为2k -，求“谁获得冠军”的信息熵H 关于n 的表达式．7、某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB=），墙AB 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC=θ（1）若θ=，求△ABC 的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC 的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．8、9、根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？10、如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.容器Ⅱ容器ⅠAH 11E 11A (第10题)答案1、解（1）延长BA 至B '，使得B A BA '=连接B D '交AC 于P ,此时P 点到两楼顶D B ,距离之和最短， 由B AP '∆∽CPD ∆∴207010APAP CD PC B A AP -=⇒=' 370=AP m所以P 点在距AB 楼370m 处，使得P 点到两楼顶D B ,距离之和最短。

答（1） （2）2. （本题共16分，其中卷面分1分） 解：（1）在PMA Rt ∆中，θtan =APAM，得θtan 2=AM ， 所以θθtan 2tan 2221=⋅⋅=∆PMA S由π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2,πθ=∠=∠MPN APM在PNB Rt ∆中，θtan =BN BP ，得θtan 1=BN ， 所以θθtan 21tan 1121=⋅⋅=∆PMA S所以绿化草坪面积PBN PAM S S AB BC AD S ∆∆--⋅+=)(21θθtan 121tan 23)332(21--⋅+=)tan 121tan 2(239θθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππθ …………4分 又因为2tan 121tan 22tan 121tan 2=⋅≥⋅+θθθθ 当且当θθtan 21tan 2=，即21tan =θ。

此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,6ππθ…………6分 所以绿化草坪面积的最大值为)2239(-平方百米. …………7分（2）方法一：在PMA Rt ∆中，θcos =PM AP ，得θcos 2=PM ， 由π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2,πθ=∠=∠MPN APM在PNB Rt ∆中，θsin =PN BP ，得θsin 1=PN ， 所以总美化费用为]3,6[,sin 2cos 2ππθθθ∈+=y …………10分θθθθθθθθ223322'cos sin )cos (sin 2sin cos 2cos sin 2-=-=yθθθθθθθθ2222cos sin )cos cos sin )(sin cos (sin 2++-= 令0'=y 得πθ=列表如下所以当4πθ=时，即1,2==BM AM 时总美化费用最低为4万元。

…………15分方法二：在PMA Rt ∆中，θcos =PM AP ，得θcos 2=PM ， 由π=∠+∠+∠BPN MPN APM ,2,πθ=∠=∠MPN APM在PNB Rt ∆中，θsin =PN BP ，得θsin 1=PN ， 所以总美化费用为]3,6[,sin 2cos 2ππθθθ∈+=y …………10分 θθθθθθcos sin )cos (sin 2sin 2cos 2+=+=y 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+=2,231,cos sin t t θθ得21cos sin 2-=t θθ 所以142-=t t y ，0)1(44222'<-+-=t t y所以142-=t ty 在,2,231⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈t 上是单调递减 所以当2=t ，4πθ=时，即1,2==BM AM 时总美化费用最低为4万元。

3．解：（1）∵()f x∴()0f x '=>，∴函数()f x =[1,5]上的单调递增函数，满足标准①， …………2分 当[1,4)x ∈时，1()2f x x x =>，不满足标准②，综上所述：()f x 不符合奖励方案． …………4分 （2）∵函数()ln f x x =符合奖励标准， ∴()f x kx ≤，即ln x kx ≤， ∴ln xk x≥， …………6分 ∴设ln ()xg x x=，[1,5]x ∈，∴21ln ()xg x x-'=， 令()0g x '=，∴x e =，…………8分∴ln ()x g x x =的极大值是1(e)eg =，且为最大值， ∴1e k ≥， …………10分又∵函数()ln f x x =，[1,5]x ∈， ∴1()0f x x'=>，∴函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，满足标准①， ∵[1,5]x ∈，∴()ln 0f x x =≥，综上所述：实数k 的最小值是1e ． …………12分4、解：（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于∠BAC 的角平分线上，则丨PQ 丨=丨PR 丨=丨PA 丨sin ∠PAB=2×sin30°=2×=1，丨AQ 丨=丨PA 丨cos ∠PAB=2×=，由∠BAC=60°，且丨AQ 丨=丨AR 丨， ∴△QAB 为等边三角形，则丨RQ 丨=丨AQ 丨=，三条街道的总长度l=丨PQ 丨+丨PR 丨+丨RQ 丨=1+1+=2+；（2）设∠PAB=θ，0＜θ＜60°，则丨PQ 丨=丨AP 丨sinθ=2sinθ，丨PR 丨=丨AP 丨sin （60°﹣θ）=2sin （60°﹣θ）=cosθ﹣sinθ，丨AQ 丨=丨AP 丨cosθ=2cosθ，丨AR 丨=丨AP 丨cos （60°﹣θ）=2cos （60°﹣θ）=cosθ+sinθ由余弦定理可知：丨RQ 丨2=丨AQ 丨2+丨AR 丨2﹣2丨AQ 丨丨AR 丨cos60°，=（2cosθ）2+（cosθ+sinθ）2﹣2×2cosθ（cosθ+sinθ）cos60°，=3，则丨RQ 丨=，三条街道每年能产生的经济总效益W ，W=丨PQ 丨×300+丨PR 丨×200+丨RQ 丨×400=300×2sinθ+（cosθ﹣sinθ）×200+400=400sinθ+200cosθ+400，=200（2sinθ+cosθ）+400，=200sin （θ+φ）+400，tanφ=，当sin （θ+φ）=1时，W 取最大值，最大值为200+400≈1222，三条街道每年能产生的经济总效益最高约为1222万元．5、[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43 …………………………4分y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x =2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494+⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B )120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分6、解：（1）由11()22f =，可得111log 222a -=，解之得2a =. …………………2分由32种情形等可能，故1(1,2,,32)32kP k ==， ……………………4分 所以21132(log )53232H =⨯-=，答：“谁被选中”的信息熵为5． ……………………6分（2）n A 获得冠军的概率为111111111+)1(1)24222n n n ----++=--=(，……………8分 当1,2,k =,1n -时，2()2log 22k k k k k f p --=-=，又11()2n n n f p --=，故111231124822n n n n H ----=+++++， ……………………11分1112211 +248222n n n n n n H ----=++++， 以上两式相减，可得11111111+1224822n n H --=+++=-，故422n H =-，答：“谁获得冠军”的信息熵为422n -． ……………………14分7、解：（1）在△ABC 中，由正弦定理可得AC==2，BC==3+，∴△ABC 的周长为6+3+3≈17.60米（2）在△ABC 中，由余弦定理：c 2=602=a 2+b 2﹣2abcos60°， ∴a 2+b 2﹣ab=36，∴36+ab=a 2+b 2≥2ab ，即ab ≤36，∴S △ABC =AC•BC•sin=ab ≤9，此时a=b ，△ABC 为等边三角形，∴θ=60°，（S △ABC ）max =9．8、略9、（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-=（2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.10、【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处. 过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是4s i3s555NEα=π∠.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.。