r ∂ϕ r r r r 1 r 2 r 1 = ∇ϕ ⋅ el = (ex 2 x + e y 2 y − ez ) ⋅ (e + ey 于给定的P(1,1,1)点，上述方向导数在该点取值为 1 ∂ϕ = + 2 ∂l P 2 | ∇ϕ P |= 3 ∂ϕ | ∇ϕ P |> ∂l
∂Dy
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r r ∂Dz ∂Dy r ∂Dx ∂Dz r ∂Dy ∂Dx Method B: ∇ × D = e − − + ey − + ez x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ y z z x x y r
例题
1. 设一标量函数ϕ ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量场。试 求： (1) 该函数ϕ 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向 的单位矢量。 r r r r o o (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 el = ex cos 60 + e y cos 45 + ez cos 60o 方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为 r r r r ∂ r ∂ r ∂ 2 2 ∇ϕ = [(ex + ey + ez )( x + y − z )] = ex 2 x + e y 2 y − ez ∂x ∂y ∂z r r r P点的梯度 ∇ϕ P = e x 2 + e y 2 − e z | ∇ϕ P |= 3 r r r r e r 2 r 2 r 1 el = x 2 + e y 2 − ez = e + e y − ez x 3 3 3 3
4 已知
r r R， D= 3 R
r r r r R = ( x − x ' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z
r 求： D 的散度（ R ≠ 0 ） 。 r ∂ x − x' ∂ y − y' ∂ z − z' ∇⋅D = ( 3 )+ ( ) + ( 3 ) 3 ∂x R ∂y R ∂z R 1 1 ∂ 1 1 ∂ 1 ∂ 1 = 3 + ( x − x' ) ( 3) + 3 + + ( z − z ' ) ( 3) ( 3) 3 R R + ( y − y') ∂x R R ∂z R ∂y R 1 3( x − x ' ) 2 ∂ 1 = 3 − 5 ( 3 ) = − 3R −4 ∂ ( R ) = −3R −4 x − x ' R R ∂x R R ∂x 2 1 3( y − y ' ) + 3 − ∂ 1 y − y' R R5 ( 3 ) = −3 R5 ∂y R 2 1 3( z − z ' ) + 3 − R R5 ∂ 1 z − z' ( 3 ) = −3 3 3 =0 ∂z R R5 = 3 − 3 R R
R1 = r1 R2 = r2 r r R1 ⋅ R2 = x x + y y + z z = r1r2 cos ϕ1 cos ϕ 2 sin θ1 sin θ 2 + 1 2 1 2 1 2 r1r2 sin ϕ1 sin ϕ 2 sin θ1 sin θ 2 + r1r2 cos θ1 cos θ 2 = r1r2 cos( ϕ − ϕ ) sin θ1 sin θ 2 + r1r2 cos θ1 cos θ 2 r 1 r 2 R1 • R2 cos γ = = cos(ϕ1 − ϕ 2 ) sin θ1 sin θ 2 + cos θ1 cos θ 2 R1 R2
∂Dy
( x − x' )( y − y' ) ∂Dx = = −3 ∂x ∂y R5
r ∇× D = 0
6 已知
O为坐标原点，P为r>a处的一点，l为由O指向P的连线，求
r r ρr E1 = er r<a 3ε 0 r r ρa3 E2 = er r<a 2 3ε 0 r
r r r r dl = er dr + eθ rdθ + eϕ r sinθdϕ r r dl = er dr r P r r r r a r r ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ er dr = ∫ E1 ⋅ er dr +
O 0 0
a 0
∫
P
O
r r E ⋅ dl
P
=∫
3 2 3 ρr r ρa ρ a ρ a 1 1 dr + dr = − ( − ) 2 ∫ a 3ε 0 3ε 0 r 6ε 0 3ε 0 r a
∫
0
a
r r E2 ⋅ er dr
ρa 2 ρa3 = − 2ε 0 3ε 0 r
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r 1 R ∇( ) = − 3 R R r 1 R ∇' ( ) = 3 R R 1 1 ∇( ) = −∇' ( ) R R
r R r ∇R = = eR R ∇R = −∇' R
r r R ∇ ' R = − = − eR R
P
ÿÿ
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r r r 2 已知 E = ex E0 cos(ωt − kz + ϕ0 ) ，求 ∇ × E r r ∂Ez ∂E y r ∂Ex ∂Ez r ∂Ey ∂Ex − ∇ × E = ex ( − ) + ey ( − ) + ez ( ) ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x r ∂Ex r = −ey = −ey kE0 sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂z r r r ∂B 若∇ × E = − ，求B ∂t r r r ∂B = −∇ × E = ey kE0 sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂t r r ∂B r B=∫ dt = ey kE0 ∫ sin(ωt − kz + ϕ0 ) ∂t
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r r r r o o o e = e cos 60 + e cos 45 + e cos 60 (2) 求该函数ϕ 沿单位矢量 l x y z
方向的方向导数，并以点 P(1,1,1) 处的方向导数值与该点的梯度 值作以比较，得出相应结论。
r k = −ey E0 cos(ωt − kz + ϕ0 ) + C ω
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1 1 ( 1 ) ∇ R ( 2 ) ∇ ' R ( 3 ) ∇ ( ) ( 4 ) ∇ ' ( ) P’点之间的距离，R≠0。求： R R r r r r r ∂ r ∂ r ∂ r r r r = xex + ye y + zez ∇ = e + ey + ez x R = r − r ' ∂z ∂x ∂y r r r r r ' = x ' e x + y ' e y + z ' ez r ∂ r ∂ r ∂ ∇' = ex + ey + ez r r r r ∂x' ∂y ' r ∂z ' R = ( x − x ' )e x + ( y − y ' )e y + ( z − z ' )e z r r R r R r ∇R = = eR ∇ ' R = − = − eR | R |= ( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 R R 1 ∂ R 2 2 2 2 r ∂R r ∂R r ∂R ∂ x − x + y − y + z − z [( ' ) ( ' ) ( ' ) ] = ∇R = e x + ey + ez ∂x' ∂x ∂y ∂z ∂x' 1 x'− x x − x' ∂R ∂[( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 ] 2 = = − = R R ∂x ∂x 1 − ∂R y − y' ∂R z − z' = [( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 ] 2 ( x − x' ) =− =− ∂y ' R ∂R y − y ' ∂z ' R x − x' ∂ R z − z ' = = = ∂ y R R ∂z R
a
7. 在圆柱坐标系中，一点的位置由 定出，求该点在 （1）直角坐标系中；（2）球坐标系中的坐标。
(4,
2π ,3) 3
2π ρ = 4, ϕ = ,z =3 3 x = ρ cos ϕ = 4 cos 2π = −2 3 y = ρ cos ϕ = 4 sin 2π = 2 3 3 z =3 (2,2 3 ,3) （2）r = x 2 + y 2 + z 2 = 5 z 3 θ = arccos = arccos r 5 ρ 4 = arctan = arctan z 3 = 0.9273(弧度） = 53.10