矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论习题11(写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 xatybt,,cos,sin，，2 xtytzt,,,3sin,4sin,3cos，，1解: ，其图形是平面上之椭圆。
ratibtj,，cossinxOy，，，其图形是平面与圆柱面rtitjtk,，，3sin4sin3cos430xy,,2，，222xz，,3之交线，为一椭圆。
2234(求曲线x,t,y,t,z,t的一个切向单位矢量。
,3223,，，rtitjtk解:曲线的矢量方程为 3dr2,i，2tj，2tk则其切向矢量为 dtdr242||,1，4t，4t,1，2t 模为 dt2drdri，2tj，2tk/||,于是切向单位矢量为 2dtdt1，2t,2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。
xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4 2ratiatjatk,，，sinsin2cos解:曲线矢量方程为dr,,,，,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为 dt,d2rt,在处， ,,,,aiak,4t,4d2t22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t，1,y,4t,3,z,2t,6t 法平面方程。
22r,(t，1)i，(4t,3)j，(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:由题意得曲线矢量方程为dr在的点M处，切向矢量 t,2,,,[2ti，4j，(4t,6)k],4i，4j，2kt,2dtt,2 y,5y,5x,5z，4x,5z，4于是切线方程为 ,,,即,,442221于是法平面方程为，即 2(x,5)，2(y,5)，(z，4),02x，2y，z,16,0238(求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。
xyz，，,24rtitjtk,，，dr2解:曲线切向矢量为， ? ,,,，，23itjtkdt平面的法矢量为，由题知 nijk,，，222 ,,，，,，，niktt,，itjtk2302j，,,143，，，，1t,,,1,得。
将此依次代入?式，得3111|,|11t,,,,,i，j,k,,,i，j,k t,,39273111,,,,,,1,11,,,故所求点为，，,,3927,,习题21(说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。
11 u,;，，AxByCzD，，，z2,sinuarc ，，22，xy1AxByCzD，，，,0解:场所在的空间区域是除外的空间。
，，等值面为11,C或Ax，By，Cz，D,,0，这是与平(C,0为任意常数)11Ax，By，Cz，DC1面平行的空间。
AxByCzD，，，,02222场所在的空间区域是除原点以外的的点所组成的空间部分。
，，zxy,，222222等值面为， z,(x，y)sinc,(x，y,0)当时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外); sin0c,当时，是除原点外的平面。
sin0c,xOy22xy，M1,1,2u,2(求数量场经过点的等值面方程。
，，zM1,1,2解:经过点等值面方程为，，2222xy，，11u,,,1， z222即，是除去原点的旋转抛物面。
zxy,，(已知数量场，求场中与直线相切的等值线方程。
3xy，,,240uxy,xy, 解:设切点为，等值面方程为，因相切，则斜率为 xycxy,,，，0000y10k,,,, ，即 x,2y00x20xy,点在所给直线上，有，，00xy，,,24000解之得yx,,1,2 00xy,2故2224(求矢量的矢量线方程。
Axyixyjzyk,，，解矢量线满足的微分方程为 Adr，,0，dxdydz 或,, 222xyxyzydxdzxdx,ydy,,.有 xz22,x,y,C,1解之得 (C,C为任意常数),12z,Cx2,225.求矢量场通过点的矢量线方程。
(2,1,1)MA,xi，yj，(x，y)zk dxdydz,,.解矢量线满足的微分方程为 22x，yzxy()dxdy11由， ,得,，C122xyxy()dx,ydzd(x,y)dz,,按等比定理有即解得 ,.x,y,Cz.222(x，y)zx,yx,yz11,,,，C1,1xy故矢量线方程为又求得 C,,,C,1M(2,1,1),122,x,y,Cz2,111,,,,xy2.故所求矢量线方程为 ,,x,y,z,习题323224M2,0,1, 1(求数量场在点处沿的方uxzyz,，2，，lxixyjzk,,，23向导数。
24lxixyjzkik,,，,，2343解:因，其方向余弦为，，MM43cos,,,cos,,0,cos,,. 55,u,u,u3222M(2,0,,1)在点处有 ,2xz,,4,,4yz,0,,3xz，2y,12,,x,y,z,u43,,(,4)，0,0，,12,4所以 ,l552223M1,1,1,t2(求数量场在点处沿曲线朝uxzxyz,,，3，，xtytzt,,,,,, 增大一方的方向导数。
u解:所求方向导数，等于函数在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。
曲线上点M所对应的参数为,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为t,1 dydxdz2， ,1,,,2t,,2,,3t,3t,1t,1dtdtdtMMM123其方向余弦为 cos,,,cos,,,,cos,,.141414,u,u,u2,(6xz,y),7,,,x,,1,,(3x，2z),5又。
MMM,x,y,zMMM于是所求方向导数为,u,u,u,u1,2324,(cos，cos，cos),7，，(,1)，，5，,,,,lxyz,,,,14141414MM23M2,1,1,3(求数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大, ，，uxyz,,u0解: 因,,,grad grad cos,， ulu，，,l,,0当时，方向导数最大。
,u,u,ugrad u,(i，j，k)M,x,y,zM32322,(2xyzi，xzj，3xyzk),,4i,4j，12k,Mgrad u,,4i,4j，12k即函数沿梯度方向的方向导数最大 uM最大值为。
grad u,176,411M13122u,(x,y)u,0,,1,,24.画出平面场中的等值线，并画出场在与点M(2,2)1222处的梯度矢量，看其是否符合下面事实: M(3,7)2(1)梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小;u(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向增大的方向。
2222x,y,0,x,y,1,2222x,y,2,x,y,3,解:所述等值线的方程为:其中第一个又可以写为22x,y,4,Oxx,y,0,x，y,0为二直线，其余的都是以轴为实轴的等轴双曲线(如下图,图中 G,grad u,1M1) G,grad u,2M2由于 grad u,xi,yj,故grad u,2i,2j,M1grad u,3i,7j,M2由图可见，其图形都符合所论之事实。
P1,2,35(用以下二法求数量场在点处沿其矢径方向的方向导数。
uxyyzzx,，，，，1 直接应用方向导数公式; ，，2 作为梯度在该方向上的投影。
，，1r,14.解:点P的矢径其模其方向余弦为 r,i，2j，3k,，，123又 cos,,,cos,,,cos,,.141414,u,u,u,(y，z),5,,(x，z),4,,(x，y),3 PPP,x,y,zPPP,,,,uuuu,(cos，cos，cos),,,,,,,,lxyzPP所以123225，，4，，3，,。
14141414,u,u,u2grad u,(i，j，k),5i，4j，3k, ，，P,x,y,zPr1230r,,i，j，k. r141414,u123220,grad u,r,5，，4，，3，,。
故 P,l14141414P222 6，求数量场在点与点O(0,0,0)A(1,1,1)u,x，2y，3z，xy，3x,2y,6z处梯度的大小和方向余弦。
又问在哪些点上梯度为0, 解: grad u,(2x，y，3)i，(4y，x,2)j，(6z,6)k,grad u,3i,2j,6k,grad u,6i，3j，0k, OA222222其模依次为: 3，(,2)，(,6),7,6，3，0,35326grad u于是的方向余弦为 cos,,,cos,,,,cos,,,.O77721grad u的方向余弦为 cos,,,cos,,,cos,,0.A552x，y，3,0,,,求使之点，即求坐标满足之点，由此解得grad u,04y，x,2,0,,,6z,6,0,故所求之点为 x,,2,y,1,z,1(,2,1,1).27(通过梯度求曲面上一点处的法线方程。
M(1,,2,3)xy，2xz,42解:所给曲面可视为数量场的一张等值面，因此，场在点 uu,xy，2xz处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即 M2 grad u,(2xy，2z)i，xj，2xk,2i，j，2k,MMx,1y，2z,3,,.故所求的法线方程为 212习题 42222r,xi，yj，zk1.设S为上半球面求矢量场向上穿过S的通量x，y，z,a(z,0),。
【提示:注意S的法矢量n与r同指向】 ,解:23,,r,dS,rdS,rdS,adS,a,2,a,2,a.n,,,,,,,,SSSS2222v,(x，y，z)k2.设S为曲面求流速场在单位时间内下x，y，z,a(0,z,h), 侧穿S的流量Q。
22Q,(x，y，z)dxdy,,(x，y，x，y)dxdy,解: 其中D为S在xOy面上的,,,, SD222Q,,(rcos,，rsin,，r)rdrd,投影区域:用极坐标计算，有 x，y,h.,,D32,2h2,hh12232,,,d(rcos,，rsin,，r)dr,,[(cos,，sin,)，]d,,,,h.,,,000342223.设S是锥面z,x，y在平面z,4的下方部分，求矢量场向A,4xzi，yzj，3zk下穿出S的通量。
,解:略4.求下面矢量场A的散度。
323(1) A,(x，yz)i，(y，xz)j，(z，xy)k;(2) A,(2z,3y)i，(3x,z)j，(y,2x)k;(3)A,(1，ysinx)i，(xcosy，y)j.22解:(1) div A,3x，2y，3zdiv A,0(2)div A,ycosx,xsiny，1(3)333div A5.求在给定点处的值:(1) A,xi，yj，zk在点M(1,0,,1)处;2(2) A,4xi,2xyj，zk在点M(1,1,3)处;(3) A,xyzr(r,xi，yj，zk)在点M(1,3,2)处;222div A,(3x，3y，3z),6解:(1) MMdiv A,(4,2x，2z),8(2) MMdiv A,xyzdiv r，grad(xyz),r,3xyz，(yzi，xzj，xyk),(xi，yj，zk)(3) div A,6xyz,36,6xyz，故。