压轴题命题区间(七)概率与统计概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键是能阅读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的转化，能结合所学知识解决问题．解答应用问题要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力．除以上过“三关”外，对于概率与统计应用问题还应再过三关，即文字关、图表关、计算关．文字关——抓关键语句，破干扰信息[典例] (2016·兰州诊断)调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y ＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：人员编号1234 5 (x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1)人员编号678910 (x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)(1)若该城市有200万常住人口，试估计该城市居民中居住满意度为三级的人数是多少？(2)从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取2人，这2人的居住满意度指标ω均为4的概率是多少？[解] 计算10名被调查者的综合指标，可列下表：人员编号12345678910综合指标446245351 3(1)由上表可知居住满意度为三级(0≤ω≤1)的只有1名，其频率为110，用样本频率估计总体的频率可知，该城市居民中居住满意度为三级的人数有200×110＝20(万人)．(2)设事件A为“从居住满意度为一级的被调查者中随机抽取2人，这2人的居住满意度指标ω均为4”，居住满意度为一级(ω≥4)的有编号为1,2,3,5,6,8的被调查者，共6名，从中随机抽取2人，所有可能的结果有：{1,2}，{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,8}，{2,3}，{2,5}，{2,6}，{2,8}，{3,5}，{3,6}，{3,8}，{5,6}，{5,8}，{6,8}，共15种．其中综合指标ω＝4的有编号为1,2,5的被调查者，共3名．事件A 发生的所有可能结果为{1,2}，{1,5}，{2,5}，共3种，所以P (A )＝315＝15.[方法点拨]本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是：(1)快速了解“无关信息”(如本例第一句话)．(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例字母x ，y ，z ，ω所指什么)．(3)明确题目所求内容．[对点演练]为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，求前两位均为B 类市民的概率是多少．解：(1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ， 则P (A )＝40200＝15.∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低15.(2)由题可知A 类市民和B 类市民各有40人， 故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出2人，设从A 类市民中抽出的2人分别为A 1，A 2，从B 类市民中抽出的2人分别为B 1，B 2. 设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ， 则事件M 中首先抽出A 1的事件有：(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种．同理首先抽出A 2，B 1，B 2的事件也各有6种． 故事件M 共有24种．设“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)共4种，∴P (N )＝424＝16.∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是16.图表关——会转换信息，思解题方法[典例②，③，④，⑤.(1)某教练将所带10名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计(如表所示)，并打算从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测(只测不合格的项目)，求补测项目种类不超过3项的概率；项目学员编号①②③④⑤ (1) T T T (2) T T T(3) T T T T (4) T T T(5) T T T T(6) T T T (7) T T T T (8) T T T T T(9) T T T(10)TTTTT注：“T ”表示合格，空白表示不合格(2)在汽车边缘不压射线AC 与射线BD 的前提下，将汽车驶入指定的停车位．根据经验，学员甲转向90°后可使车尾边缘完全落在线段CD 上，且位于CD 内各处的机会相等．若CA ＝BD ＝0.3 m ，AB ＝2.4 m ，汽车宽度为1.8 m ，求学员甲能按教练要求完成任务的概率．[解] (1)根据题意，学员(1)，(2)，(4)，(6)，(9)恰有2项成绩不合格，从中任意抽出2人，所有情况如下：学员编号补测项目项数(1)(2) ②③⑤ 3 (1)(4) ②③④⑤ 4 (1)(6) ③④⑤ 3 (1)(9) ①③⑤ 3 (2)(4) ②④⑤ 3 (2)(6) ②③④⑤ 4 (2)(9) ①②⑤ 3 (4)(6) ②③④ 3 (4)(9) ①②④⑤ 4 (6)(9)①③④⑤4由表可知，全部10种可能的情况中，有6种情况补测项数不超过3， 由古典概型的概率计算公式可知， 所求概率为610＝35.(2)在线段CD 上取两点B ′，D ′，使BB ′＝DD ′＝1.8 m ，记汽车尾部左端点为M ， 则当M 位于线段AB ′上时，学员甲可按教练要求完成任务，而学员甲可以使点M 等可能地出现在线段CD ′上， 根据几何概型，所求概率P ＝AB ′CD ′＝ 2.4－1.82.4＋2×0.3－1.8＝0.61.2＝12. [方法点拨](1)解答本题首先应理解所给表格中各项表示什么．(2)对于一些题目所给的直方图、茎叶图，要明白图中所给的信息． [对点演练](2017·石家庄模拟)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；(2)若从该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离为2到5米的这三组中，用分层抽样的方法抽取7次成绩(单位：米，运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离越运成绩越好)，并从抽到的这7次成绩中随机抽取2次．规定：这2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记1分，否则记0分．求该运动员得1分的概率．解：(1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x，∵0.20×1＝0.20＜0.5，且(0.40＋0.20)×1＝0.6＞0.5，∴x∈[4,5]，由0.40×(5－x)＋0.20×1＝0.5，解得x＝4.25，∴该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米．(2)由题意知，抽到的7次成绩中，有1次来自到篮筐中心的水平距离为2到3米的这一组，记作A1；有2次来自到篮筐中心的水平距离为3到4米的这一组，记作B1，B2；有4次来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组，记作C1，C2，C3，C4.从7次成绩中随机抽取2次的所有可能抽法如下：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A1，C3)，(A1，C4)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B1，C4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(B2，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，(C2，C4)，(C3，C4)共21个基本事件．其中2次成绩均来自到篮筐中心的水平距离为4到5米的这一组的基本事件有6个，∴该运动员得1分的概率P＝621＝27.计算关——重计算能力，防不慎失分[典例] (2016·郑州质检)为了解人们对于国家新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽调了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二孩放开”人数如下表：年龄[5,15)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65] 频数51015105 5支持“生育二孩放开”451282 1(1)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二孩放开”政策的支持度有差异；年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计 支持 a ＝ c ＝ 不支持 b ＝ d ＝ 合计(2)若对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持“生育二孩放开”的概率是多少？附：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，n ＝a ＋b ＋c ＋d .[解] (1)2×2列联表如下：年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 支持 a ＝3 c ＝29 32 不支持 b ＝7d ＝1118 合计104050由数据得K 2＝50×3×11－7×29210×40×32×18≈6.272＜6.635，所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二孩放开”政策的支持度有差异．(2)设年龄在[5,15)的被调查人中支持“生育二孩放开”的4人分别为a ，b ，c ，d ，不支持“生育二孩放开”的1人记为M ，则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取2人所有可能的结果有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，M )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，M )，(c ，d )，(c ，M )，(d ，M )，共10个基本事件，设“恰好这2人都支持‘生育二孩放开’”为事件A ， 则事件A 所有可能的结果有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个， 所以P (A )＝610＝35.所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取2人进行调查，恰好这2人都支持“生育二孩放开”的概率为35.[方法点拨](1)本例在计算K 2时应仔细，考生在计算中易出错，要明确公式中n ，a ，b ，c ，d 所表示值．(2)利用最小二乘法求“b ”时，应注意避免计算出错． [对点演练](2017·武汉调研)一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费时间，为此进行了5次试验，测得的数据如下：(1)如果y 与x 具有线性相关关系，求回归直线方程；(2)根据(1)所求回归直线方程，预测此车间加工这种零件70个时，所需要的加工时间．附：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，y －＝b ^ x －＋a ^. 解：(1)由表中数据得，∴x ＝15(10＋20＋30＋40＋50)＝30，y ＝15(62＋68＋75＋81＋89)＝75，∑i ＝15x 2i ＝102＋202＋302＋402＋502＝5 500， ∑i ＝15x i y i ＝10×62＋20×68＋30×75＋40×81＋50×89＝11 920，5x － y －＝5×30×75＝11250.∵b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －·y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝11 920－11 2505 500－5×302＝0.67，a ^＝y －－b ^ x －＝75－0.67×30＝54.9，∴回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9.(2)由(1)所求回归直线方程可知，在x ＝70时， y ^＝0.67×70＋54.9＝101.8(分钟)．∴预测此车间加工这种零件70个时，所需要加工时间为101.8分钟．1．(2017·重庆适应性测试)据我国西部各省(区，市)2015年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.7解析：选A 依题意，由图可估计人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A.2．(2016·全国丙卷)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析：选D 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确，故D 错误．3．(2016·福建省毕业班质量检测)某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 2 3 5 6 销售利润y (万元)57911由表中数据，得线性回归方程l ：y ^＝b ^x ＋a^⎝⎛⎭⎪⎪⎫b ^＝∑i ＝1n x i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2，a ^＝y －－b ^x －，则下列结论错误的是( )A.b ^＞0B.a ^＞0C ．直线l 过点(4,8)D ．直线l 过点(2,5) 解析：选D 因为x ＝4，y ＝8， 所以回归直线l 过样本的中心点(4,8)， 所以选项C 正确；因为b ^＝1.4＞0，a ^＝y －－b ^x －＝8－1.4×4＝2.4＞0， 所以选项A 、B 都是正确的； y ^＝1.4x ＋2.4，因为1.4×2＋2.4＝5.2≠5，所以点(2,5)不在直线l 上，所以选项D 是错误的，故选D.4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481.则销量每增加1千箱，单位成本约下降________元(结果保留5位有效数字)． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解析：由题意知b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.364，所以y ^＝－1.818 2x ＋77.364， 所以销量每增加1千箱， 则单位成本约下降1.818 2元． 答案：1.818 25．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩(单位：分)数据的茎叶图如图1所示：(1)分别求出甲、乙两组数据的中位数，并比较两组数据的分散程度(只需给出结论)； (2)甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 解：(1)甲组数据的中位数为78＋792＝78.5， 乙组数据的中位数为75＋822＝78.5.从茎叶图可以看出，甲组数据比较集中，乙组数据比较分散． (2)由茎叶图知，甲组中[60,70)的人数为1，故c ＝0.01. [70,80)的人数为5人，故a ＝0.05. [80,90)，[90,100]的人数分别为2人， 故b ＝0.02.(3)从甲、乙两组数据中各任取一个，得到的所有基本事件共有100个，其中满足“两数之差的绝对值大于20”的基本事件有16个，故所求概率P ＝16100＝425.6．(2017·合肥质检)某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据：(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －·y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －b ^x －. 解：(1)由数据得x －＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y －＝15(0.02＋0.05＋0.1＋0.15＋0.18)＝0.1，∑i ＝15x i y i ＝0.02＋2×0.05＋3×0.1＋4×0.15＋5×0.18＝1.92.∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55. 5x － y －＝5×3×0.1＝1.5， 5x －2＝45，故b ^＝1.92－1.555－45＝0.042.a ^＝0.1－0.042×3＝－0.026，所以线性回归方程为y ^＝0.042x －0.026.(2)由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关， 即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点． 由y ^＝0.042x －0.026＞0.5，解得x ≥13，故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.7．(2016·北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费．从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解：(1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27] 频率0.10.150.20.250.150.050.050.054×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)．8．(2016·云南省统测)某校高二年级共有1 600名学生，其中男生960名，女生640名．该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试．根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80,100]的学生可取得A等(优秀)，在[60,80)的学生可取得B等(良好)，在[40,60)的学生可取得C等(合格)，不到40分的学生只能取得D等(不合格)．为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]七组加以统计，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数； (2)请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整．并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 男生 a ＝12 b ＝ 女生 c ＝ d ＝34合计n ＝100附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋dP (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 k 02.0722.7063.841解：(1)设抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x 人，根据题意得x ＝100×[1－10×(0.006＋0.012×2＋0.018＋0.024＋0.026)]＝2. 据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中成绩不合格的人数为2100×1 600＝32.(2)根据已知条件得2×2列联表如下：数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 男生 a ＝12 b ＝48 60 女生 c ＝6d ＝3440 合计1882100∵K 2＝100×12×34－6×48260×40×18×82≈0.407＜2.706，∴没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．。